Dubbio su un quesito del Courant & Robbins
Salve a tutti, apro un post per avere una conferma :
a pagina 57 del libro "Che cos'è la matematica?" viene proposto di trovare l'errore in una dimostrazione che sfrutta il principio di induzione.
Per chi non avesse il libro ma capisse l'inglese trova tutto questo alla pagina 20 di questo e-book
http://books.google.it/books?id=_kYBqLc ... A#PPA20,M1
Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?
a pagina 57 del libro "Che cos'è la matematica?" viene proposto di trovare l'errore in una dimostrazione che sfrutta il principio di induzione.
Per chi non avesse il libro ma capisse l'inglese trova tutto questo alla pagina 20 di questo e-book
http://books.google.it/books?id=_kYBqLc ... A#PPA20,M1
Secondo me l'errore consiste nella considerazione dei numeri $alpha$ e $beta$ rispettivamente come $a-1$ e $b-1$, infatti per passare dalla proposizione $A_(r+1)$ alla $A_r$ non bisogna necessariamente ridurre $a$ e $b$ solo di $1$, uno di essi può essere diminuito anche di più e in questo caso il ragionamento crollerebbe.
Quello che ho scritto è giusto?
Risposte
"ViciousGoblinEnters":
rispondo a Pippo93
Il tuo modo di procedere per dimostrare che $A_n$ implica $A_{n+1}$ non è corretto (indipendentemente poi da verita' e falsita' del tutto)
Cercando di formalizzare tu hai:
IPOTESI per ogni $a$ e $b$ interi con $\max(a,b)=n$ si ha $a=b$
TESI per ogni $a$ e $b$ interi con $\max(a,b)=n+1$ si ha $a=b$
Come faccio a dimostrare che l'ipotesi implica la tesi? devo cercare di dimostrare che la tesi è vera, usando l'ipotesi come premessa.
Allora se voglio dimostrare la tesi devo partire da una qualunque coppia di interi $a$ e $b$ tali che $\max(a,b)=n+1$ e ottenere
che $a=b$ (è di QUESTE coppie che parla la tesi, non di quelle con $\max(a,b)=n$.) A questo punto tolgo uno ad $a$ e $b$ e faccio
come C.R. per potere applicare l'ipotesi.
ok, ma per sfruttare l'ipotesi non stai sfruttando un caso particolare (diminuendo di 1 a e b)? Mi spiego meglio: partendo da $\max(a,b)=n+1$ per ricondurmi all'ipotesi devo ricondurmi a $\max(a,b)=n$ e per farlo non è detto che debba diminuire SOLO di 1 ENTRAMBI i numeri. Tu mi hai detto che non posso contestare dicendo "se si facesse in un altro modo non funzionerebbe", perché no? Per trattarsi di implicazione non dovrebbe funzionare in tutti i modi possibili?
"ViciousGoblinEnters":
Rispondo ad alcune delle questioni poste nei messaggi che si sono susseguiti - probabilmente saranno necessarie altre precisazioni.
Una premessa. Mi rendo bene conto della "comunanza" tra silente e pippo93 e non è la prima volta che mi trovo "dall'altra parte".
La cosa che, vi garantisco, mi spiace di più è la "distanza" nel seguire i vostri ragionamenti. Purtroppo faccio matematica da molti anni e mi
spaventa sempre di più constatare di non riuscire più "mettermi nei panni" dell'appassionato che comincia (probabilmente anch'io avrei sollevato le vostre obiezioni ai miei tempi).
Perdonatemi quindi se non riesco (come invece vorrei) a individuare il punto esatto in cui non ci troviamo d'accordo. Spero comunque di riuscire a essere utile. FINE NOTA AUTOCOMMISERATIVA.
non si tratta di stare dalla parte di... sto solo cercando di chiarirmi le idee, forse non sono molto aperto mentalmente, ma d'altronde sono abbastanza nuovo per questa materia
ok, ma per sfruttare l'ipotesi non stai sfruttando un caso particolare (diminuendo di 1 a e b)? Mi spiego meglio: partendo da max(a,b)=n+1 per ricondurmi all'ipotesi devo ricondurmi a max(a,b)=n e per farlo non è detto che debba diminuire SOLO di 1 ENTRAMBI i numeri. Tu mi hai detto che non posso contestare dicendo "se si facesse in un altro modo non funzionerebbe", perché no? Per trattarsi di implicazione non dovrebbe funzionare in tutti i modi possibili?
Non sono sicuro di capire bene il punto. Non vedo cosa ci sia di male a sfruttare un caso particolare. Capita tante volte che in una dimostrazione
non si usino tutte le conseguenze dell'ipotesi. Ripeto il ragionamento.
1) prendo $a$ e $b$ con $\max(a,b)=n+1$
2)pongo $\alpha=a-1$ e $\beta=b-1$
3) mi chiedo posso applicare $A_n$ ad $\alpha$ e $\beta$ ?- se la risposta è sì non mi devo preoccupare di altro,
dato che allora ottengo $\alpha=\beta$ e quindi $a=b$.
Tu dici di considerare anche altri casi, per esempio se suppongo che il massimo tra $a$ e $b$ sia $a$ potrei prendere
$ \alpha=a-1$ e $\beta=b$. D'accordo, vuol dire che $A_n$ implica anche qualcos'altro oltre ad $A_{n+1}$ - in questo
caso implica anche che $a=b+1$ ($a$ essendo il massimo tra i due). Non c'è a priori nulla di male in questo, dato che
se la premessa è falsa l'implicazione è sempre vera.
Da' un'occhiata al mio post precedente - ho aggiunto un altro esempio in fondo.
"WiZaRd":
Premessa importantissima: se domani andassi a fare l'esame di Logica Matematica il Professore, facendo appello a tutta la sua buona volontà, mi rimanderebbe a casa a calci nel sedere lanciandomi strali di maledizioni per i prossimi mille anni.
Fatta questa premesse vorrei spendere due parole sulla questione dell'implicazione sulla questione della deduzione.
A mio avviso l'errore che commettono silenete e pippo93 è quello di distinguere tra implicazione materiale e implicazione non materiale, accomunando la prima all'idea della deduzione: in pratica, per voi, se ho ben capito, esiste l'implicazione $to$ la quale è un connettivo logico, ed esiste l'implicazione materiale $=>$ che lega da un punto di vista logico l'enunciato a sinistra (antecedente o ipotesi) con l'enunciato a destra (conseguente o tesi), i.e. usare questa implicazione significa che ogni volta che l'antecedente è vero lo è anche il conseguente.
Bene: errorino.
All'Università e, più in generale nell'ambiente accademico, non sentirete parlare di implicazioni di una specie o di un'altra e non sentire questi usi e abusi di uno stesso simbolo.
L'ottica in cui si pone Vicious (posso chiamarti così?) è esattamente quella accademica, e, a mio modesto parere, quella più corretta.
Il simbolo di implicazione (di seguito $=>$) altro non è che un connettivo logico e, come tale, serve solo per costruire un nuovo enunciato (che dicesi composto) a partire da due enunciati elementari (detti anche atomici).
Tale enuciato è definito dalla tavola di verità che assegna $F$ (falsità) se e solo se l'antecedente è vero e il conseguente è falso, e assegna $V$ negli altri casi.
La deduzione è invece un'altra cosa: si dice che l'enunciato $Y$ è conseguenza logica degli enunciati $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$ se non si da mai il caso che, stando la verità di ciascun $X_i$, si possa avere la falsità di $Y$. Per indicare che $Y$ è conseguenza logica degli $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$ si usa un simbolo particolare, che mi pare essere $|=$ (o qualche cosa di molto simile). A questo punto subentrano le deduzioni. Si chiamano regole di deduzione quelle regole logiche che permettono di affermare le verità di conclusione dalla vertià delle premesse. Notate che fino ad ora non ho parlato di implicazioni.
Le regole di deduzione valide sono le tautologie.
Una delle tautologie più comuni è il modus ponens: $(A ^^^ [A => B]) => (B)$, si può provare che questa implicazione è una tautologia.
Che sia una tautologia comporta che, se in un problema mi chiedono di provare che è vera la tesi $B$ partendo dal fatto che è vera l'ipotesi $A$, allora io dovrò provare che è vera l'implicazione $A => B$: la cosa può sembrare strana perché pare che si gira intorno, ma è proprio in questo apparente girarci intorno che costituisce la differenza tra deduzione e implicazione. La deduzione è quella regola che mi permette di dire alla fine "$B$ è vera", l'implicazione è il mezzo formale che uso per farlo.
Detto questo, prendiamo un predicato composto (parlo di predicato perché stiamo considerando delle frasi che contengono la variabile logica $x$ quantificata da $\forall$ e $\exists$) $A(x) => B(x)$. Se sappiamo che $A(x)$ è sempre falsa, allora non c'è nessuna deduzione da fare, semplicemente perché le ipotesi da cui muoviamo sono false e le regole di deduzione parlano di premesse vere da cui dedurre la verità.
Tutto questo mette anche in evidenza la differenza tra correttezza di una deduzione e verità di una deduzione: la regola $(A ^^^ [A => B]) => (B)$ è corretta, ma questo non significa che se si prova la verità di $A => B$ si ha necessariamente la verità di $B$.
Spero di non avere detto tropppe scemenze e di non avere confuso ulteriormente le idee.
Rispondo brevemente anche a te per non fare torto a nessuno ...
1) Ti autorizzo a chiamarmi Vicious
D'altra parte sei tu il senior e con quell'Avatar non puoi che incutere paura a un vecchio goblin sperduto.2) Non sono un logico, ma per quanto ho capisco di logica per frequentazione sporadica di logici, credo che non ti caccerei dall'esame. Il tuo quadro mi sembra corretto.
Mi pare anche che tu colga un punto (implicazione materiale/non materiale) di dubbio per Silente.
3) Credo però che il dubbio originario di Pippo93, sia più riposto (e mi piacerebbe capirlo).
Ciao
Ho capito!! e ora mi pare pure banale (ma disgrazia vuole che il ragionamento che ho fatto prima continua a insidiarmi, bo?).
Il mio problema stava giusto qui.
Grazie ai gentili signori ViciousGoblinEnters e WiZaRd.
E grazie anche a Pippo che spesso mi trascina nel suo apprendimento.
Il mio problema stava giusto qui.
"ViciousGoblinEnters":
Chiama $P(a,b,n)$ la proposizione "$\max(a,b)=n\Rightarrow a=b$.
Dimostrare che "$\forall x P(a,b,12)$"$\Rightarrow$ "$\forall x P(a,b,13)$"
è una cosa ben diversa da
"$\forall x ( P(a,b,12)\Rightarrow P(a,b,13) )$"
(sempre se capisco l'argomento di silente)
???????
Grazie ai gentili signori ViciousGoblinEnters e WiZaRd.
E grazie anche a Pippo che spesso mi trascina nel suo apprendimento.
"ViciousGoblinEnters":
1) Ti autorizzo a chiamarmi Vicious
OK
"silente":
Ho capito!! e ora mi pare pure banale (ma disgrazia vuole che il ragionamento che ho fatto prima continua a insidiarmi, bo?).
Il mio problema stava giusto qui.
[quote="ViciousGoblinEnters"]Chiama $P(a,b,n)$ la proposizione "$\max(a,b)=n\Rightarrow a=b$.
Dimostrare che "$\forall x P(a,b,12)$"$\Rightarrow$ "$\forall x P(a,b,13)$"
è una cosa ben diversa da
"$\forall x ( P(a,b,12)\Rightarrow P(a,b,13) )$"
(sempre se capisco l'argomento di silente)
???????
Grazie ai gentili signori ViciousGoblinEnters e WiZaRd.
E grazie anche a Pippo che spesso mi trascina nel suo apprendimento.[/quote]
Bene, sono contento, ma mi potreste mostrare la differenza tra le due affermazioni, dato che di logica non ci capisco molto?
forse sto iniziando a capire(o almeno spero 
) , vediamo se lo sto facendo correttamente...
dunque noi diciamo che se $AA a, b max(a,b)=n rArr a=b$ implica $AA a, b max(a,b)=n+1 rArr a=b$, quindi se è falsa la prima non è detto che sia vera la seconda. L'esempio di silente non dimostra che $AA a, b max(a,b)=n rArr a=b$ è vera, ma solo che $a=12, b=12 max(a,b)=n rArr a=b$ è vera, quindi la sua veridicità non implica $AA a, b max(a,b)=n+1 rArr a=b$. Giusto?
Siccome la premessa è ovviamente sempre falsa, lo è anche la conclusione , no?
) , vediamo se lo sto facendo correttamente...dunque noi diciamo che se $AA a, b max(a,b)=n rArr a=b$ implica $AA a, b max(a,b)=n+1 rArr a=b$, quindi se è falsa la prima non è detto che sia vera la seconda. L'esempio di silente non dimostra che $AA a, b max(a,b)=n rArr a=b$ è vera, ma solo che $a=12, b=12 max(a,b)=n rArr a=b$ è vera, quindi la sua veridicità non implica $AA a, b max(a,b)=n+1 rArr a=b$. Giusto?
Siccome la premessa è ovviamente sempre falsa, lo è anche la conclusione , no?
"ViciousGoblinEnters":
Direi che il problema è che se $a$ e $b$ sono interi positivi non è detto che $\alpha=a-1$ e $\beta=b-1$ siano positivi.
c'è ancora una cosa che non mi è chiara, ViciousGoblinEnters all'inizio ha detto quello che c'è scritto sopra.
Se però prendiamo la $A_2$ e abbiamo dimostrato $A_1 rArr A_2$ senza uscire dai positivi, è vera la $A_1$, dovrebbe essere vera anche la $A_2$?
Se si dimostrasse sì - ma non si dimostra.
Per dimostrare che $A_1\Rightarrow A_2$ devi dimostrare $A_2$ (dando per buona $A_1$).
Dimostrare $A_2$ significa che per OGNI coppia $a$ $b$ con $max(a,b)=2$ si ha $a=b$.
Per esempio devi considerare $a=2$ e $b=1$. Ma in questo caso $\alpha=1$ e $\beta=0$
e non puoi utilizzare $A_1$, non perchè il massimo tra $\alpha$ e $\beta$ non sia $1$,
ma perchè i due numeri non sono entrambi positivi ($\beta$ non lo è$)
Come dicevo in un altro post se tu modificassi la $A_n$ ammettendo tutte le coppie $a$ e $b$
di interi relativi allora $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ sarebbe vera - ma allora cadrebbe la
veridicità di $A_1$
Per dimostrare che $A_1\Rightarrow A_2$ devi dimostrare $A_2$ (dando per buona $A_1$).
Dimostrare $A_2$ significa che per OGNI coppia $a$ $b$ con $max(a,b)=2$ si ha $a=b$.
Per esempio devi considerare $a=2$ e $b=1$. Ma in questo caso $\alpha=1$ e $\beta=0$
e non puoi utilizzare $A_1$, non perchè il massimo tra $\alpha$ e $\beta$ non sia $1$,
ma perchè i due numeri non sono entrambi positivi ($\beta$ non lo è$)
Come dicevo in un altro post se tu modificassi la $A_n$ ammettendo tutte le coppie $a$ e $b$
di interi relativi allora $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ sarebbe vera - ma allora cadrebbe la
veridicità di $A_1$
@ViciousGoblinEnters
ho capito l'ultimo tuo post
secondo te, giudicando dal mio post che inizia con "forse sto iniziando a capire(o almeno spero ) , vediamo se lo sto facendo correttamente... ", ho capito bene, adesso, la questione?
ho capito l'ultimo tuo post
secondo te, giudicando dal mio post che inizia con "forse sto iniziando a capire(o almeno spero ) , vediamo se lo sto facendo correttamente... ", ho capito bene, adesso, la questione?
@Pippo
Provo a dirti come l'ho presa io. Spero di non fare confusione.
Il passo induttivo da dimostrare è: $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$
che nel nostro caso assume la forma
$(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
una generica proposizione $A_i$ puo essere del tipo
1°)$max(7,7)=nrArr7=7$ che è vera
2°)$max(4,5)=nrArr4=5$ che è falsa
per dimostrare che $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ ci si vuole assicurare che da una premessa $A_r$ vera segua una conseguenza $A_(r+1)$ ancora vera
Nulla ci importa del caso in cui la premessa sia falsa (non vogliamo dichiarare una implicazione falsa sulla base della falsità della premessa come nel caso in cui non si dichiare falsa la proposizione: se Silente fosse Pippo farebbe il liceo anche se la premessa è evidentemente falsa.)
In questo senso ci interessa dimostrare, ai fini del passo induttivo, $(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
E non ha importanza l’eventualità che la premessa $(max(a,b)=nrArra=b)$ sia falsa
Ora succede questo:
Prendiamo $(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
in questa la premessa è $max(a,b)=nrArra=b$.
Se è falsa possiamo disinteressarcene.
Dunque supponiamola vera.
Dobbiamo provare che è vera anche la conseguenza $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
Quando è vera la conseguenza?
Come sopra non ci interessano i casi in cui l’antecedente $(max(a,b)=n+1)$ è falsa; si deve solo provare che tutte le volte che è vero $(max(a,b)=n+1)$ è vero anche $(a=b)$
Ora poniamo
$max(a,b)=n+1$
Risulta
$max(a-1,b-1)=n$
Per la verità (supposta) di $(max(a,b)=nrArra=b)$ risulta $a-1=b-1$ da cui $a=b$ che è ciò che si voleva dimostrare.
La contestazione che noi abbiamo fatto prima riguardava l’esistenza di coppie $(x,y)$ tali che
$max(x,y)=n+1$ ma $(x,y)!=(a,b)$
Queste coppie, si diceva, sfuggono alla dimostrazione. Difatti sfuggono, ma sono tutte coppie che non ci interessano perché sono tali da rendere falsa la $(max(a,b)=nrArra=b)$ e quindi non ci interessano.
Ad esempio $max(2,3)=3$ ci sfugge ma possiamo ometterlo appunto perché $(max(2,3)=3rArr2=3)$ è falsa.
Il modo più semplice per omettere i casi che non ci interessano è quello di utilizzare come ipotesi solo la verità di
$(max(a,b)=nrArra=b)$
$(max(a,b)=n+1)$
Ciò ci permette di verificare il passo induttivo non curandoci dei casi in cui le ipotesi siano false.
Spero di aver capito, di non aver esagerato con le cazzate e di non averti fatto fare confusione.
@ViciounsGoblinEnters
Se ho capito dovrebbe potersi affermare:
1)il passo induttivo è valido in $Z$ (che però non ha un primo elemento)
2)Affinché valga l’induzione è necessario avere un primo elemento da verificare quindi $A_1$ non esiste in $Z$)
Sicchè questa proprietà non si può dimostrare né in $Z$ (per la 2) né in un qualsiasi sottoinsieme di $Z$ che abbia un minimo (per la 1).
@ViciounsGoblinEnters
La mia difficoltà credo sia stata generata dal rifiuto di ammettere come utilizzabile ai fini dell'induzione una implicazione del tipo:
$A_nrArrA_(n+1)$
nel caso in cui $AAi$ $A_i$ sia falsa.
Da qui la mia necessità di imporre, con la dimostrazione, la verità di $A_n$
non accorgendomi che $A_nrArrA_(n+1)$ e $AAi$ $A_i$ è falsa non possono coesistere con $A_1$ è vera.
Provo a dirti come l'ho presa io. Spero di non fare confusione.
Il passo induttivo da dimostrare è: $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$
che nel nostro caso assume la forma
$(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
una generica proposizione $A_i$ puo essere del tipo
1°)$max(7,7)=nrArr7=7$ che è vera
2°)$max(4,5)=nrArr4=5$ che è falsa
per dimostrare che $A_r$ $rArr$ $A_(r+1)$ ci si vuole assicurare che da una premessa $A_r$ vera segua una conseguenza $A_(r+1)$ ancora vera
Nulla ci importa del caso in cui la premessa sia falsa (non vogliamo dichiarare una implicazione falsa sulla base della falsità della premessa come nel caso in cui non si dichiare falsa la proposizione: se Silente fosse Pippo farebbe il liceo anche se la premessa è evidentemente falsa.)
In questo senso ci interessa dimostrare, ai fini del passo induttivo, $(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
E non ha importanza l’eventualità che la premessa $(max(a,b)=nrArra=b)$ sia falsa
Ora succede questo:
Prendiamo $(max(a,b)=nrArra=b)$ $rArr$ $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
in questa la premessa è $max(a,b)=nrArra=b$.
Se è falsa possiamo disinteressarcene.
Dunque supponiamola vera.
Dobbiamo provare che è vera anche la conseguenza $(max(a,b)=n+1rArra=b)$
Quando è vera la conseguenza?
Come sopra non ci interessano i casi in cui l’antecedente $(max(a,b)=n+1)$ è falsa; si deve solo provare che tutte le volte che è vero $(max(a,b)=n+1)$ è vero anche $(a=b)$
Ora poniamo
$max(a,b)=n+1$
Risulta
$max(a-1,b-1)=n$
Per la verità (supposta) di $(max(a,b)=nrArra=b)$ risulta $a-1=b-1$ da cui $a=b$ che è ciò che si voleva dimostrare.
La contestazione che noi abbiamo fatto prima riguardava l’esistenza di coppie $(x,y)$ tali che
$max(x,y)=n+1$ ma $(x,y)!=(a,b)$
Queste coppie, si diceva, sfuggono alla dimostrazione. Difatti sfuggono, ma sono tutte coppie che non ci interessano perché sono tali da rendere falsa la $(max(a,b)=nrArra=b)$ e quindi non ci interessano.
Ad esempio $max(2,3)=3$ ci sfugge ma possiamo ometterlo appunto perché $(max(2,3)=3rArr2=3)$ è falsa.
Il modo più semplice per omettere i casi che non ci interessano è quello di utilizzare come ipotesi solo la verità di
$(max(a,b)=nrArra=b)$
$(max(a,b)=n+1)$
Ciò ci permette di verificare il passo induttivo non curandoci dei casi in cui le ipotesi siano false.
Spero di aver capito, di non aver esagerato con le cazzate e di non averti fatto fare confusione.
@ViciounsGoblinEnters
Se ho capito dovrebbe potersi affermare:
1)il passo induttivo è valido in $Z$ (che però non ha un primo elemento)
2)Affinché valga l’induzione è necessario avere un primo elemento da verificare quindi $A_1$ non esiste in $Z$)
Sicchè questa proprietà non si può dimostrare né in $Z$ (per la 2) né in un qualsiasi sottoinsieme di $Z$ che abbia un minimo (per la 1).
@ViciounsGoblinEnters
La mia difficoltà credo sia stata generata dal rifiuto di ammettere come utilizzabile ai fini dell'induzione una implicazione del tipo:
$A_nrArrA_(n+1)$
nel caso in cui $AAi$ $A_i$ sia falsa.
Da qui la mia necessità di imporre, con la dimostrazione, la verità di $A_n$
non accorgendomi che $A_nrArrA_(n+1)$ e $AAi$ $A_i$ è falsa non possono coesistere con $A_1$ è vera.
"pippo93":
@ViciousGoblinEnters
ho capito l'ultimo tuo post
secondo te, giudicando dal mio post che inizia con "forse sto iniziando a capire(o almeno spero ) , vediamo se lo sto facendo correttamente... ", ho capito bene, adesso, la questione?
Quello che scrivi in quel post mi sembra corretto. Per sicurezza ti ripeto che il contenuto di quel post è collegato col problema posto da silente -
cioè il confronto tra le due affermazioni
"$(\forall x P(x))\Rightarrow (\forall x Q(x))$" e "$\forall x (P(x)\Rightarrow Q(x))$
Ti è chiaro ora che sono sono affermazioni diverse ? - ho cambiato notazione rispetto al post precedente (li' c'erano $a$ e $b$ al posto di $x$ e c'erano $P_n$ e $P_{n+1}$ al posto di $P$ e $Q$). Se ti è chiaro direi che la questione di "forse sto iniziando a capire(o almeno spero ) , vediamo se lo sto facendo correttamente... ", è risolta.
Non è invece chiaro a me se quello fosse il punto di confusione nel ragionamento induttivo (non vorrei aver aggiunto confusione quando
ho puntualizzato che l'implicazione $P\Rightarrow Q$ è vera se $P$ è falsa).
Nell'esempio posto dal C.R. viene proposto un ragionamento che sembra corretto e di cui si vuole trovare la pecca. In quel caso, in effetti, l'implicazione
$A_n\Rightarrow A_{n+1}$ non può essere vera per ogni $n$ (a meno che tutto non sia contadditorio). Andando ad analizzare la dimostrazione proposta
troviamo che essa fallisce per il motivo a cui ho accennato più volte, cioè perché
diminunendo di uno $a$ e $b$ non si è certi di poter applicare il caso precedente (per la questione della positività).
Ma ATTENZIONE, il fatto che una certa dimostrazione fallisca non significa che ciò che vogliamo dimostrare sia falso (può darsi che una dimostrazione più furba aggiusti le cose).
Andiamo allora a vedere EFFETTIVAMENTE per quali $n$ la $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ è vera. Bene tale implicazione è VERA per tutti gli $n\geq 2$ e
questo, per esempio, perchè $A_n$ è falsa da due in poi. Quella che non è vera è SOLO $A_1\Rightarrow A_2$ (quanto basta però per rendere inapplicabile l'induzione).
@Silente
Mi pare che tutto il tuo discorso iniziale del tuo utimo post sia corretto (anche se è difficile trasmettere in uno scritto le idee che
uno segue).
Volevo solo aggiungere che non importerebbe in sè che $ZZ$ non abbia inizio - ti potresti benissimo metterti in $NN$.
Mi spiego: sia
$B_n$ la proposizione "dati $a$ e $b$ in $ZZ$ con $\max(a,b)=n$, allora $a=b$"
allora per ogni $B_n\Rightarrow B_{n+1}$, per i motivi che abbiamo già visto (sia perché l'antecedente è sempre falso, ma anche perchè
la dimostrazione di C.R. funziona). In particolare $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ è vera per ogni $n$ in $NN$ - se $B_1$ fosse vera saremmo nei guai.
Fortunatamente $B_1$ è falsa dato che $-1$ e $1$ hanno massimo uno ma non sono eguali.
Mi pare che tutto il tuo discorso iniziale del tuo utimo post sia corretto (anche se è difficile trasmettere in uno scritto le idee che
uno segue).
Volevo solo aggiungere che non importerebbe in sè che $ZZ$ non abbia inizio - ti potresti benissimo metterti in $NN$.
Mi spiego: sia
$B_n$ la proposizione "dati $a$ e $b$ in $ZZ$ con $\max(a,b)=n$, allora $a=b$"
allora per ogni $B_n\Rightarrow B_{n+1}$, per i motivi che abbiamo già visto (sia perché l'antecedente è sempre falso, ma anche perchè
la dimostrazione di C.R. funziona). In particolare $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ è vera per ogni $n$ in $NN$ - se $B_1$ fosse vera saremmo nei guai.
Fortunatamente $B_1$ è falsa dato che $-1$ e $1$ hanno massimo uno ma non sono eguali.
"$(\forall x P(x))\Rightarrow (\forall x Q(x))$" e "$\forall x (P(x)\Rightarrow Q(x))$
bhe, l'implicazione corretta dovrebbe essere la prima (in $ZZ$), no?
Vediamo se ho colto la differenza...
la prima dichiara che se la P è vera per qualsiasi coppia di numeri allora la Q è vera sempre, la seconda dichiara che se la P è vera (per una qualsiasi coppia di numeri allora è vera la Q(per una qualsiasi coppia di numeri (e questa è falsa anche in $ZZ$).Giusto?
Non so se ho capito bene le formule logiche, ma a scuola non abbiamo trattato questa materia e il quel che so l'ho preso dal "Diavolo in cattedra" di Odifreddi, potete ben capire che è una nullità.
Comunque provo a ripetere il ragionamento che porta a $A_r rArr A_(r+1)$ (in $ZZ$ o con $r>=2$ cercando di schematizzare in ipotesi e tesi:
Ipotesi: $max(a,b)=n rArr a=b$
Tesi: $max(a,b)=n+1 rArr a=b$
parto dalla tesi ( $max(a,b)=n+1 rArr a=b$) e cerco di farla diventare della forma dell'ipotesi dichiarando due numeri:
$alpha=a-1$
$beta=b-1$
ora, ottengo $max(alpha,beta)=n$ e questa è esattamente della forma dell'ipotesi perciò posso scrivere
$max(alpha,beta)=n rArr alpha=beta$, quindi capisco che la tesi è implicata dall'ipotesi. La considerazione di $alpha4$ e $beta$ non ha alcuna importanza perchè sono solamente due numeri generici che mi permettono di applicare l'ipotesi alla tesi.
Che ne pensate?
Riguardo ai chiarimenti di Silente:
tu dici che dobbiamo considerare le coppie che rendano vera l'ipotesi, le altre non ci interessano. Quindi nella tesi $max(a,b)=n+1 rArr a=b$ non sappiamo se la coppia a,b sia di questo tipo, ma nell'ipotesi $max(alpha,beta)=n rArr alpha=beta$ imponiamo che la coppia $alpha,beta$ lo sia ai fini della "dimostrazione"e quindi lo diviene anche la coppia a,b della tesi. Mi sembra di aver capito, è corretto ciò che ho scritto?
bhe, l'implicazione corretta dovrebbe essere la prima (in $ZZ$), no?
Vediamo se ho colto la differenza...
la prima dichiara che se la P è vera per qualsiasi coppia di numeri allora la Q è vera sempre, la seconda dichiara che se la P è vera (per una qualsiasi coppia di numeri allora è vera la Q(per una qualsiasi coppia di numeri (e questa è falsa anche in $ZZ$).Giusto?
Non so se ho capito bene le formule logiche, ma a scuola non abbiamo trattato questa materia e il quel che so l'ho preso dal "Diavolo in cattedra" di Odifreddi, potete ben capire che è una nullità.
Comunque provo a ripetere il ragionamento che porta a $A_r rArr A_(r+1)$ (in $ZZ$ o con $r>=2$ cercando di schematizzare in ipotesi e tesi:
Ipotesi: $max(a,b)=n rArr a=b$
Tesi: $max(a,b)=n+1 rArr a=b$
parto dalla tesi ( $max(a,b)=n+1 rArr a=b$) e cerco di farla diventare della forma dell'ipotesi dichiarando due numeri:
$alpha=a-1$
$beta=b-1$
ora, ottengo $max(alpha,beta)=n$ e questa è esattamente della forma dell'ipotesi perciò posso scrivere
$max(alpha,beta)=n rArr alpha=beta$, quindi capisco che la tesi è implicata dall'ipotesi. La considerazione di $alpha4$ e $beta$ non ha alcuna importanza perchè sono solamente due numeri generici che mi permettono di applicare l'ipotesi alla tesi.
Che ne pensate?
Riguardo ai chiarimenti di Silente:
tu dici che dobbiamo considerare le coppie che rendano vera l'ipotesi, le altre non ci interessano. Quindi nella tesi $max(a,b)=n+1 rArr a=b$ non sappiamo se la coppia a,b sia di questo tipo, ma nell'ipotesi $max(alpha,beta)=n rArr alpha=beta$ imponiamo che la coppia $alpha,beta$ lo sia ai fini della "dimostrazione"e quindi lo diviene anche la coppia a,b della tesi. Mi sembra di aver capito, è corretto ciò che ho scritto?
"pippo93":
"$(\forall x P(x))\Rightarrow (\forall x Q(x))$" e "$\forall x (P(x)\Rightarrow Q(x))$
bhe, l'implicazione corretta dovrebbe essere la prima (in $ZZ$), no?
Vediamo se ho colto la differenza...
Scusa Pippo se ti rispondo in fretta.
Anche io con questo simbolismo sono cintura nera d'ignoranza..
La prima implicazione dice che:
$1)$ $\forall x P(x)$: qualsiasi $x$ l'ipotesi $P(x)$ è vera (dunque è sempre vera)
$2)$ $\forall x Q(x)$ :qualsiasi $x$ la tesi $Q(x)$ è vera(dunque è sempre vera)*
$3)$ che tutte le volte che è vera $1)$ allora è vera anche $2)$
*Puoi notare come la sola dimostrazione della verità della $2)$ dimostra il teorema (essendo la tesi sempre vera lo sarà di certo anche quando è vera l'ipotesi) quindi, se tu riesci a dimostrare la $2)$ non hai più nemmeno bisogno dell'induzione. Il teorema è già vero per quella.
La seconda implicazione (è questa che dobbiamo utilizzare) dice che
qualsiasi $x$ se $P(x)$ è vera lo è anche $Q(x)$
Nota come qui non ci è necessario sapere che $P(x)$ è vera. Si afferma solo che se è vera $P(x)$ lo è anche $Q(x)$ e questo succede per qualsiasi $x$
Il passo induttivo consiste in questa implicazione.
Ciao
ho capito, avevo interpretato male i simboli
per essere sicuro vorrei dirvi cosa ho capito, in modo che non mi restino idee sbagliate...
dunque, la differenza tra $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))"$ e $"∀x(P(x)⇒Q(x))$ consiste nel fatto che la prima, dice che una supposta veridicità di $P(x)$ per ogni $x$ implicherebbe la veridicità di $Q(x)$ per ogni $x$. La seconda, invece, dice che la supposta veridicità di $P(x)$ con ogni $x$ porta a quella di $Q(x)$. Quindi la prima implicazione fallisce se $P(x)$ non è vera per tutte le $x$ ed è per questo che non si può dimostrare, la seconda invece afferma che $P(x)$ porta a $Q(x)$ e rimane anche se $P(x)$ è falsa. E' corretto?
Quindi l'esempio di Silente non è convincente perché volendo dimostrare la falsità di $"∀x(P(x)⇒Q(x))$ , non tiene conto del fatto che la premessa sia falsa (perchè $P(x)$ non è vera sempre ma solo quando si prendono $a$ e $b$ particolari) e che quindi la tesi non debba essere per forza vera, tuttavia ciò non rende falsa l'implicazione. Giusto?
L'esempio dimostra la falsità di $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))"$ ??
dunque, la differenza tra $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))"$ e $"∀x(P(x)⇒Q(x))$ consiste nel fatto che la prima, dice che una supposta veridicità di $P(x)$ per ogni $x$ implicherebbe la veridicità di $Q(x)$ per ogni $x$. La seconda, invece, dice che la supposta veridicità di $P(x)$ con ogni $x$ porta a quella di $Q(x)$. Quindi la prima implicazione fallisce se $P(x)$ non è vera per tutte le $x$ ed è per questo che non si può dimostrare, la seconda invece afferma che $P(x)$ porta a $Q(x)$ e rimane anche se $P(x)$ è falsa. E' corretto?
Asserire Ar ⇒ Ar+1
significa impegnarsi a dimostrare anche che, ad esempio, A12⇒A13
Considera la proposizione vera max(12,12)=12⇒12=12 (che non è affatto A12 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A12 è vera)
e dimmi come fai a dedurne che
max(6,13)=13⇒6=13 (che non è affatto A13 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A13 è vera)
Perché sia Ar ⇒ Ar+1 deve essere vera anche questa.
Quindi l'esempio di Silente non è convincente perché volendo dimostrare la falsità di $"∀x(P(x)⇒Q(x))$ , non tiene conto del fatto che la premessa sia falsa (perchè $P(x)$ non è vera sempre ma solo quando si prendono $a$ e $b$ particolari) e che quindi la tesi non debba essere per forza vera, tuttavia ciò non rende falsa l'implicazione. Giusto?
L'esempio dimostra la falsità di $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))"$ ??
Scusa se rispondo in ritardo. Spero di riuscire ad aiutarti a risolvere i tuoi problemi, anche se la materia non è semplice e ci vuole probabilemente un po'
di tempo a familiarizzare con questo formalismo.
Ho riletto un po' tutti i post e le risposte e mi sono accorto che in alcuni casi la mia risposta non era perfettamente consona al problema.
Per esempio quando silente scriveva:
io ho risposto dicendo che era cosa diversa dimostrare
(1) $(\forall a,b" " P_n(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" " P_{n+1}(a,b))$
piuttosto che
2) $\forall a,b" " (P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a,b))$
(dove stiamo indicando con $P_n(a,b)$ l'affermazione "$\max(a,b)=n\Rightarrow a=b$" - in queso modo $A_n=$"$\forall a,b" " P_n(a,b)$").
Ora rileggendo il post di silente non sono più sicuro che la mia risposta sia pertinente.
Leggendo alla lettera ciò che scrive silente sembrerebbe che secondo lui la validità di $(\forall a,b " "P_12(a,b))\Rightarrow(\forall a,b " "P_13(a,b))$
debba implicare la validità di $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(6,13)$. Se è questa l'argomentazione allora l'errore che fa silente non è nella distinzione tra (1)
e (2) bensì nella distinzione tra (1) (che è ciò che si vorrebbe dimostrare ) e (3) dove
(3) $\forall a,b,c,d" " (P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(c,d))$
Si vede facilmente che (3) implica (2) e a sua volta (2) implica (1) ma i viceversa non sono veri.
Forse silente aveva in mente qualcosa di leggermente diverso (andare a vedere solo le coppie $a,b$ per cui $P_n(a,b)$ è vera ??) ma questo
non riesco a capirlo.
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Voglio ribadire il senso che si vuole dare all'implicazione: come è stato detto varie volte la verità di $P\Rightarrow Q$ non parla
nè della verità di $P$ nè della verità di $Q$ ma solo del fatto che"da $P$ si può passare a $Q$". L'unico caso in cui $P\Rightarrow Q$ è falsa è quello in cui
$P$ è vera e $Q$ è falsa. Per esempio se $P$ è falsa l'implicazione è automaticamente vera.
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Torno infine sulla differenza tra (1) e (2) che comunque esiste. Credo che se ci pensi un momento concorderai che
la (2) è più forte della (1); infatti la (2) dice che preso una qualunque coppia $a,b$ $P_{n+1}(a,b)$ segue da $P_{n}(a,b)$ (per la STESSA coppia $a,b$).
Se la (2) vale è indubbio che valga la (1) ma potrebbe succedere che la (1) sia vera senza che sia vera la (2), potrebbe cioè succedere che la validità
di $P_n(a,b)$ per TUTTE le coppie $a,b$ implichi la validità di $P_{n+1}(a,b)$ sempre per tutte le coppie $a,b$ senza che la cosa sia vera copia per coppia.
In effetti se si guarda la dim di C.R. quello che si dimostra è il fatto che
$\forall a,b" "P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$
da cui (SE si fanno variare $a$ e $b$ IN $ZZ$) si deduce la (1) che è il passo induttivo.
di tempo a familiarizzare con questo formalismo.
Ho riletto un po' tutti i post e le risposte e mi sono accorto che in alcuni casi la mia risposta non era perfettamente consona al problema.
Per esempio quando silente scriveva:
Asserire Ar ⇒ Ar+1
significa impegnarsi a dimostrare anche che, ad esempio, A12⇒A13
Considera la proposizione vera max(12,12)=12⇒12=12 (che non è affatto A12 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A12 è vera)
e dimmi come fai a dedurne che
max(6,13)=13⇒6=13 (che non è affatto A13 ma solo una delle proposizioni che sono comprese sotto la quantificazione universale ∀a,∀b∀,c A13 è vera)
Perché sia Ar ⇒ Ar+1 deve essere vera anche questa.
io ho risposto dicendo che era cosa diversa dimostrare
(1) $(\forall a,b" " P_n(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" " P_{n+1}(a,b))$
piuttosto che
2) $\forall a,b" " (P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a,b))$
(dove stiamo indicando con $P_n(a,b)$ l'affermazione "$\max(a,b)=n\Rightarrow a=b$" - in queso modo $A_n=$"$\forall a,b" " P_n(a,b)$").
Ora rileggendo il post di silente non sono più sicuro che la mia risposta sia pertinente.
Leggendo alla lettera ciò che scrive silente sembrerebbe che secondo lui la validità di $(\forall a,b " "P_12(a,b))\Rightarrow(\forall a,b " "P_13(a,b))$
debba implicare la validità di $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(6,13)$. Se è questa l'argomentazione allora l'errore che fa silente non è nella distinzione tra (1)
e (2) bensì nella distinzione tra (1) (che è ciò che si vorrebbe dimostrare ) e (3) dove
(3) $\forall a,b,c,d" " (P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(c,d))$
Si vede facilmente che (3) implica (2) e a sua volta (2) implica (1) ma i viceversa non sono veri.
Forse silente aveva in mente qualcosa di leggermente diverso (andare a vedere solo le coppie $a,b$ per cui $P_n(a,b)$ è vera ??) ma questo
non riesco a capirlo.
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Voglio ribadire il senso che si vuole dare all'implicazione: come è stato detto varie volte la verità di $P\Rightarrow Q$ non parla
nè della verità di $P$ nè della verità di $Q$ ma solo del fatto che"da $P$ si può passare a $Q$". L'unico caso in cui $P\Rightarrow Q$ è falsa è quello in cui
$P$ è vera e $Q$ è falsa. Per esempio se $P$ è falsa l'implicazione è automaticamente vera.
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Torno infine sulla differenza tra (1) e (2) che comunque esiste. Credo che se ci pensi un momento concorderai che
la (2) è più forte della (1); infatti la (2) dice che preso una qualunque coppia $a,b$ $P_{n+1}(a,b)$ segue da $P_{n}(a,b)$ (per la STESSA coppia $a,b$).
Se la (2) vale è indubbio che valga la (1) ma potrebbe succedere che la (1) sia vera senza che sia vera la (2), potrebbe cioè succedere che la validità
di $P_n(a,b)$ per TUTTE le coppie $a,b$ implichi la validità di $P_{n+1}(a,b)$ sempre per tutte le coppie $a,b$ senza che la cosa sia vera copia per coppia.
In effetti se si guarda la dim di C.R. quello che si dimostra è il fatto che
$\forall a,b" "P_n(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$
da cui (SE si fanno variare $a$ e $b$ IN $ZZ$) si deduce la (1) che è il passo induttivo.
In effetti se si guarda la dim di C.R. quello che si dimostra è il fatto che
$∀a,b Pn(a,b)⇒Pn+1(a+1,b+1)$
da cui (SE si fanno variare a e b IN ℤ) si deduce la (1) che è il passo induttivo.
"$(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))" e "∀x(P(x)⇒Q(x))$
bhe, l'implicazione corretta dovrebbe essere la prima (in ℤ), no?
Vediamo se ho colto la differenza...
L'implicazione vera e quella che riguarda il vero problema è $∀a,b Pn(a,b)⇒Pn+1(a+1,b+1)$ e le altre due trattate finora non centrano il problema.
L'errore dell'esempio di Silente quindi consiste nel considerare l'implicazione $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ perché in questo modo la premessa è vera ma la tesi è falsa. Ma credo che non sia corretto parlare di $∀x(P(x)⇒Q(x)$, perché se supponiamo vera $P(x)$ non può essere vera $Q(x)$, trattandosi delle stesse coppie di numeri.
Sono d'accordo con ViciousGoblinEnters quando dice che l'implicazione dimostrata eche riguarda direttamente il problema sia $∀a,bPn(a,b)⇒Pn+1(a+1,b+1) $.
Non capisco comeda quest'ultima si deduca $(∀a,bPn(a,b))⇒(∀a,bPn+1(a,b)) $: perché il questo caso trovo che l'esempio di Silente sia adatto e costituisca una prova della sua falsità. Mi è venuta in mente una cosa.
Aspetto correzioni!
Mi sembra che stiamo girando in tondo - continuano a uscire problemi che mi sembravano chiariti.
Nei vari post precedenti, quando usavo $P$ e $Q$ intendevo proposizioni generiche che non avevano nulla a che vedere con
il problema in esame. Mi sembrava utile mettere in evidenza alcune proprieta' formali generali.
Mi sembra pero' che facendo cosi' non si concluda nulla, quindi prendiamo in esame il caso concreto e cerchiamo di nuovo di analizzarlo.
Chiamo $P_n(a,b)$ la proposizione "$(\max(a,b)=n)\Rightarrow (a=b=$". Inolte chiamo
$A_n$ la proposizione "$\forall a,b\in NN" vale "P_{n}(a,b)$ e
$B_n$ la proposizione "$\forall a,b\in ZZ" vale "P_{n}(a,b)$.
Io sostengo:
(1) che per ogni $a,b$ in $ZZ$ $P_{n}(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$;
(2) che dalla precedente (a) si deduce che $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ è vera per ogni $n$;
(3) che $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ è vera per ogni $n$ diverso da uno ma non è vera $A_1\Rightarrow A_2$.
Non voglio parlare qui della (3) perchè in questo momento mi sembrano più interessanti le prime due, anche se la (3) era il problema
originario. Mi pare infatti più importante chiarire i ragionamenti e questo si vede meglio nelle (1) e (2).
Dimostro cha vale (1). Fissiamo $a$ e $b$ in $ZZ$ e supponiamo che valga $P_n(a,b)$. Questo significa che
o $\max(a,b)\ne n$ oppure ($\max(a,b)= n$ e $a=b$). Passiamo ad $a'=a+1$ e $b'=b+1$ e verifichiamo che vale $P_{n+1}(a',b')$.
Infatti se $\max(a',b')\ne n+1$ allora l'implicazione è vera; consideriamo quindi il caso $\max(a',b')=n+1$. In questo secondo caso
è chiaro che $\max(a,b)=n$ e quindi per la $P_n(a,b)$ risulta $a=b$ da cui $a'=b'$.
Dato che o $\max(a',b')\ne n+1$ oppure ($\max(a',b')= n+1$ e $a'=b'$) abbiamo dimostrato $P_{n+1}(a',b')$, cioè $P_{n+1}(a+1,b+1)$.
Dimostro che vale (2) Nota che in quanto segue non uso in nessun modo cosa sia $P_n(a,b)$: in qualunque modo io avessi definito
$P_n(a,b)$ se so che $P_{n}(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$ per ogni $a,b$ in $ZZ$ ne posso ricavare che $(\forall a,b\in ZZ " "P_n(a,b))\Rightarrow (\forall a,b\in ZZ" " P_{n+1}(a,b))$ è vera per ogni $n$.
(e cioè $B_n\Rightarrow B_{n+1}$)
Fissiamo un $n$. Supponiamo che sia vera $\forall a,b\in ZZ P_n(a,b)$ e cerchiamo di dimostrare che vale $\forall a,b\in ZZ P_{n+1}(a,b)$. Per questo
dobbiamo dimostrare che $P_{n+1}(a,b)$ vale per una qualsiasi coppia di interi relativi $a,b$. Fissiamo una tale coppia. Dato che $alpha=a-1$ e $\beta=b-1$ sono ancora
interi relativi e che sappiamo che $\forall a,b\in ZZ P_n(a,b)$ allora ne possiamo dedurre che $P_n{\alpha,\beta}$ è vera. Ma allora per l'implicazione scritta prima deve essere vera
$P_{n+1}(\alpha+1,\beta+1)$ e cioè $P_{n+1}(a,b)$ che è ciò che volevo dimostrare.
Un ultimo commento a proposito dell'argomento di silente: secondo te se dimostro $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ ne posso ricavare
che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$ ???
Nei vari post precedenti, quando usavo $P$ e $Q$ intendevo proposizioni generiche che non avevano nulla a che vedere con
il problema in esame. Mi sembrava utile mettere in evidenza alcune proprieta' formali generali.
Mi sembra pero' che facendo cosi' non si concluda nulla, quindi prendiamo in esame il caso concreto e cerchiamo di nuovo di analizzarlo.
Chiamo $P_n(a,b)$ la proposizione "$(\max(a,b)=n)\Rightarrow (a=b=$". Inolte chiamo
$A_n$ la proposizione "$\forall a,b\in NN" vale "P_{n}(a,b)$ e
$B_n$ la proposizione "$\forall a,b\in ZZ" vale "P_{n}(a,b)$.
Io sostengo:
(1) che per ogni $a,b$ in $ZZ$ $P_{n}(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$;
(2) che dalla precedente (a) si deduce che $B_n\Rightarrow B_{n+1}$ è vera per ogni $n$;
(3) che $A_n\Rightarrow A_{n+1}$ è vera per ogni $n$ diverso da uno ma non è vera $A_1\Rightarrow A_2$.
Non voglio parlare qui della (3) perchè in questo momento mi sembrano più interessanti le prime due, anche se la (3) era il problema
originario. Mi pare infatti più importante chiarire i ragionamenti e questo si vede meglio nelle (1) e (2).
Dimostro cha vale (1). Fissiamo $a$ e $b$ in $ZZ$ e supponiamo che valga $P_n(a,b)$. Questo significa che
o $\max(a,b)\ne n$ oppure ($\max(a,b)= n$ e $a=b$). Passiamo ad $a'=a+1$ e $b'=b+1$ e verifichiamo che vale $P_{n+1}(a',b')$.
Infatti se $\max(a',b')\ne n+1$ allora l'implicazione è vera; consideriamo quindi il caso $\max(a',b')=n+1$. In questo secondo caso
è chiaro che $\max(a,b)=n$ e quindi per la $P_n(a,b)$ risulta $a=b$ da cui $a'=b'$.
Dato che o $\max(a',b')\ne n+1$ oppure ($\max(a',b')= n+1$ e $a'=b'$) abbiamo dimostrato $P_{n+1}(a',b')$, cioè $P_{n+1}(a+1,b+1)$.
Dimostro che vale (2) Nota che in quanto segue non uso in nessun modo cosa sia $P_n(a,b)$: in qualunque modo io avessi definito
$P_n(a,b)$ se so che $P_{n}(a,b)\Rightarrow P_{n+1}(a+1,b+1)$ per ogni $a,b$ in $ZZ$ ne posso ricavare che $(\forall a,b\in ZZ " "P_n(a,b))\Rightarrow (\forall a,b\in ZZ" " P_{n+1}(a,b))$ è vera per ogni $n$.
(e cioè $B_n\Rightarrow B_{n+1}$)
Fissiamo un $n$. Supponiamo che sia vera $\forall a,b\in ZZ P_n(a,b)$ e cerchiamo di dimostrare che vale $\forall a,b\in ZZ P_{n+1}(a,b)$. Per questo
dobbiamo dimostrare che $P_{n+1}(a,b)$ vale per una qualsiasi coppia di interi relativi $a,b$. Fissiamo una tale coppia. Dato che $alpha=a-1$ e $\beta=b-1$ sono ancora
interi relativi e che sappiamo che $\forall a,b\in ZZ P_n(a,b)$ allora ne possiamo dedurre che $P_n{\alpha,\beta}$ è vera. Ma allora per l'implicazione scritta prima deve essere vera
$P_{n+1}(\alpha+1,\beta+1)$ e cioè $P_{n+1}(a,b)$ che è ciò che volevo dimostrare.
Un ultimo commento a proposito dell'argomento di silente: secondo te se dimostro $(\forall a,b" "P_12(a,b))\Rightarrow (\forall a,b" "P_13(a,b))$ ne posso ricavare
che $P_12(12,12)\Rightarrow P_13(13,6)$ ???
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