Dubbio su un esercizio riguardante una equazione goniometric
Salve mi è venuto un dubbio su questi due esercizi. Il primo è:
$sen(60-x)$=$sen2x$ ora io il primo membro lo chiamo alfa e il secondo beta. Questo angolo beta lo prendo piccolo quindi il seno sarà piccolo e positivo. Quando alfa sarà piccolo e positivo? quando alfa=beta e quando alfa=180-beta. svolgendo i calcoli ottengo:$60-x$=$2x+k360$ da cui: $-3x$=$-60+k360$ e dividendo per -3 ho: $senx$=$20-k120$ come soluzione mi riporta $+k120$ la domanda è: in questi casi il k... devo considerarlo sempre positivo? Un altro esercizio non mi riesce e voglio postarlo. Il testo è:
$cos(50+x)$=$-cos(20-2x)$
ragionando come prima a 180 meno beta il coseno è grande e negativo quindi:
$x$=$-110+k360$
ma anche a 180 + beta il coseno è grande e negativo quindi:
$50+x$=$200-2x$
$3x$=$150+k360$
$x$=$50+k120$ mentre come risultato mi riporta k120 -70. Dove sto sbagliando?
$sen(60-x)$=$sen2x$ ora io il primo membro lo chiamo alfa e il secondo beta. Questo angolo beta lo prendo piccolo quindi il seno sarà piccolo e positivo. Quando alfa sarà piccolo e positivo? quando alfa=beta e quando alfa=180-beta. svolgendo i calcoli ottengo:$60-x$=$2x+k360$ da cui: $-3x$=$-60+k360$ e dividendo per -3 ho: $senx$=$20-k120$ come soluzione mi riporta $+k120$ la domanda è: in questi casi il k... devo considerarlo sempre positivo? Un altro esercizio non mi riesce e voglio postarlo. Il testo è:
$cos(50+x)$=$-cos(20-2x)$
ragionando come prima a 180 meno beta il coseno è grande e negativo quindi:
$x$=$-110+k360$
ma anche a 180 + beta il coseno è grande e negativo quindi:
$50+x$=$200-2x$
$3x$=$150+k360$
$x$=$50+k120$ mentre come risultato mi riporta k120 -70. Dove sto sbagliando?
Risposte
Che significa il "seno è piccolo e positivo"?
Per risolvere queste euazioni basta e avanta la semplice e cruda applicazione della periodicità delle funzioni goniometrice:
$\sen(60-x)=\sen(2x) \Rightarrow 60-x=2x+k360 \Rightarrow 60-k360=3x \Rightarrow x=20-k360=20+k360$ poiché $k \in \mathbb{Z}$, quindi nulla cambia nel predenre $k$ o $-k$.
Idem per il coseno.
Per risolvere queste euazioni basta e avanta la semplice e cruda applicazione della periodicità delle funzioni goniometrice:
$\sen(60-x)=\sen(2x) \Rightarrow 60-x=2x+k360 \Rightarrow 60-k360=3x \Rightarrow x=20-k360=20+k360$ poiché $k \in \mathbb{Z}$, quindi nulla cambia nel predenre $k$ o $-k$.
Idem per il coseno.
k assume tutti i valori interi relativi, per cui è la stessa cosa se ti viene con il meno. tutt'al più potresti usare un'altra variabile per scrivere ad esempio +h180 anziché -k180, ma è la stessa cosa.
per l'ultimo esercizio, mi pare che hai dimenticato i 20°
ciao.
per l'ultimo esercizio, mi pare che hai dimenticato i 20°
ciao.
i 20 gradi li ho considerati infatti 180 +20=200 da cui ho tolto in seguito 50 ottenendo 150 e dividendolo per 3.
L'errore del secondo esercizio è nel 200, che deve essere sostituito da 160: infatti -cos(20-2x)=cos(180-20+2x)=cos(160+2x).
WiZaRd, hai lasciato per strada una soluzione!
WiZaRd, hai lasciato per strada una soluzione!
Gianmaria non sto capendo. Il coseno è grande e negativo a 180 + beta e 180 -beta. Dove sbaglio?
@giammaria
Grazie per la segnalazione.
@rofellone
Sbagli perché inizi il ragionamento con questa storia del "grande negativo" e "piccolo positivo".
Grazie per la segnalazione.
@rofellone
Sbagli perché inizi il ragionamento con questa storia del "grande negativo" e "piccolo positivo".
Wizard la mia non è una storia. Tu capisci cosa intendo con piccolo positivo ecc. ovvero hai capito il mio modo di affrontare questi problemi? dimmi se non lo hai capito così puoi darmi una mano
Onostamente non l'ho capito.
Allora immagina l'equazione di prima. Il primo membro è un angolo che chiamo alfa. Il secondo è un angolo diverso che chiamo beta. Ora questo angolo beta immagino di prenderlo per convenzione piccolo. Essendo piccolo il suo seno sarà piccolo e positivo ed il coseno grande e positivo. Nell'equazione di poco fa è però-cos... quindi il coseno sarà grande e negativo. L'angolo chiamato alfa allora quando sdarà grande e negativo? sarà grande e negativo a 180-beta e 180+beta. Hai capito?
Ti confesso che è la prima volta che mi imbatto in questo modo di affrontare le equazioni goniometriche.
E personalmente lo ritengo non molto chiaro: innanzitutto è molto opinabile la scelta di prenderlo "piccolo", perché "piccolo" non significa niente, e similmente è opinabile la scelta di prenderlo "grande".
Il risultato cui approda è il medesimo del "metodo classico", ma costruisce un castello di carte inutile su un ragionamento molto più elementare. Il ragionamento che fai ha una forte connotazione grafica e procedendo in questo modo ti perdi le considerazioni importanti sugli angoli associati, cosa di cui ti parlava giammaria.
E personalmente lo ritengo non molto chiaro: innanzitutto è molto opinabile la scelta di prenderlo "piccolo", perché "piccolo" non significa niente, e similmente è opinabile la scelta di prenderlo "grande".
Il risultato cui approda è il medesimo del "metodo classico", ma costruisce un castello di carte inutile su un ragionamento molto più elementare. Il ragionamento che fai ha una forte connotazione grafica e procedendo in questo modo ti perdi le considerazioni importanti sugli angoli associati, cosa di cui ti parlava giammaria.
Ma in questo modo quando vado a fare 180 + beta perchè non riesce?
non è sbagliato, perché 50+70=120, pari a un periodo. quindi +50 e -70 , con +k120, sono la stessa cosa.
Mi spieghi come si giunge a capire che 50+k120 e -70 +k120 sono la stessa cosa?
-70+k120 se a k attribuisco come valore 1 ottengo120-70 che è 50 e torno a 50+k120. Hai ragionato così?
ad esempio 50+0*120=-70+1*120=50.
io userei due variabili diverse:
50+h120=-70+j120 se j=h+1
è chiaro?
io userei due variabili diverse:
50+h120=-70+j120 se j=h+1
è chiaro?
"rofellone":Hai ragione a non capire, perchè avevo sbagliato a scrivere; adesso ho corretto. Io avevo prima fatto scomparire il meno, basandomi sul 180-beta, poi notato che due coseni sono uguali se gli angoli sono uguali, con lo stesso segno o con segno diverso; tu hai ragionato diversamente. Entrambe le cose sono giuste ma, come hai verificato, conducono a risultati scritti in modo diverso; in trigonometria capita spesso. Non sono però risultati diversi: se disegni sul cerchio goniometrico i punti trovati (sono 3, disposti a triangolo equilatero) ti accorgi che sono gli stessi della soluzione del libro, quindi i due risultati sono in accordo.
Gianmaria non sto capendo. Il coseno è grande e negativo a 180 + beta e 180 -beta. Dove sbaglio?
In quanto al "piccolo e positivo", evita di dirlo, perchè è solo un promemoria per i segni, che sarebbe meglio sostituire con "appartenente al primo quadrante": ad esempio, se vuoi calcolare sen(180+x), supponi che x sia nel primo quadrante, allora 180+x sarà nel terzo e il seno avrà il segno meno. Ottieni così la formula sen(180+x)=-sen x che resta vera anche se x è in altri quadranti; l'ipotesi che fosse nel primo quadrante ci è solo servita per ricordare il segno da mettere
Vi ringrazio tutti per la disponibilità mostrata nell'aiutarmi 
! ciao e a presto!
! ciao e a presto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo