Dubbio su trasformazione equazione trigonometrica

[Kristian02]

Salve a tutti,

sto ripassando per bene lo studio di funzione e leggo nel mio libro di riferimento i vari passaggi per lo studio qualitativo di Y=2Sin(x)+1/Cos(x)

per cercare le intersezioni con l'asse x, trasformo prima la funzione con i seguenti passaggi (secondo il libro)

2Sin(x)+1/Cos(x)=0
2Sin(x)Cos(x)+1=0
(Sin(x)+Cos(x))^2=0
e trovo che l'intersezione è su x=3/4π e x=7/4π

invece per studiare il segno faccio i seguenti passaggi (sempre secondo il libro):

2Sin(x)+1/Cos(x)>0
((Sin(x)+Cos(x))^2)/Cos(x)>0

e trovo che òa funzione è positiva per x<\π/2 e x>3/2π


Ovviamente lo studio della funzione è limitato nell'intervallo 0,2π poichè seno e coseno sono cicliche e le trasformazioni utilizzano la proprietà Sin(x)^2+Cos(x)^2=1.

Quello che non capisco è che fine fa nel caso dello studio dell'intersezione con le assi X il denominatore Cos(x), che rimane invece nello studio del segno. Forse viene ignorato perchè superfluo, ovvero il campo di esistenza del denominatore fa si che non si annulla mai?

Ho cercato mentalmente di spiegare il ragionamento del libro calcolando i seguenti passaggi intermedi:

2Sin(x)+1/Cos(x)=0
Cos(x)*(2Sin(x)+1/Cos(x))=0*Cos(x)
2Sin(x)Cos(x)+1=0

ovvero moltiplico sia a destra che sinistra per Cos(x), e grazie alla proprietà distributiva ottengo la trasformazione finale della funzione descritta nel mio libro durante la ricerca delle intersezioni con asse X!

2Sin(x)+1/Cos(x)>0
(2Sin(x)Cos(x)+1)/Cos(x)>0

ovvero faccio un'addizione tra 2 frazioni quali 2Sin(x)/1 e 1/Cos(x), così ottengo la trasformazione finale della funzione descritta nel mio libro durante lo studio del segno della funzione!

La matematica non è un'opinione e una di queste 2 operazioni mentali che faccio è sbagliata, perchè la validità di una esclude l'altra! Dove sto sbagliando?


Grazie dell'aiuto,
Cristiano

[@melia]

Non so se rispondo alla tua domanda, spero di aver colto la tua perplessità. Per semplificare la scrittura indico il seno di x con la sola $s$ e il coseno con la sola $c$
Per fare lo studio del segno $2s+1/c>=0$ denominatore comune $c$ quindi $(2sc+1)/c>=0$ ricordo che in goniometria $s^2+c^2=1$, quindi scrivo l'1 a nueratore come la somma dei quadrati e ottengo $(2sc+s^2+c^2)/c>=0$ da cui ricavo che il numeratore è un quadrato di binomio, l'esercizio diventa $(s+c)^2/c>=0$.
Il numeratore non è mai negativo, quindi il segno della frazione è determinato da quello del denominatore e diventa semplicemente $c>0$ a questo punto devo studiare il segno di $cos x$, il coseno è positivo nel primo e nel quarto quadrante, per cui $cos x>0$ diventa $0<=x

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[Kristian02]

Grazie amelia,

un giorno anche io imparerò a scrivere con LateX (che è molto figo e soprattutto più leggibile), ma in realtà il succo della domanda era: come manipolare 2Sin(x)+1/Cos(x) >=0??

Posso, moltiplicando entrambi i membri a destra e sinistra per Cos(x) oppure devo mettere a denominatore comune i membri di sinistra? Poichè le due tecniche mi sembrano entrambi valide ma danno risultati differenti, evidentemente una delle 2 è errata...

[@melia]

Appunto, NON puoi moltiplicare entrambi i membri per un fattore, come è $cosx$, di cui non conosci il segno: infatti nell'arco dell'esercizio cambia segno, quindi a priori il suo segno non lo conosci.

[Kristian02]

Uhm okay giusto, cosx assume diversi valori nell'intervallo [-1,+1], quindi almeno nel caso delle funzioni trigonometriche il trucchetto per moltiplicare entrambi i membri non funziona...

Nel caso di una semplice espressione però è valida la moltiplicazione di entrambi i membri con uso della proprietà distributiva:

1/5+1/4=9/20
se moltiplico entrambi i membri per 10 ad esempio ottengo

10/5+5/2=9/2
45/10=9/2

Devo dedurre che quindi questa soluzione è valida solo per le espressioni in quanto la presenza di incognite nei membri in ogni caso farà variare il segno e creerà pasticci?

[@melia]

Per le equazioni quello che hai chiamato "trucchetto" si chiama secondo principio di equivalenza e vale ogni volta che i fattori per cui motiplichi sono diversi da 0; per le disequazioni il secondo principio di equivalenza è composto da 3 parti:
- è ammesso moltiplicare o dividere entrambi i membri per un fattore positivo, ottenendo una disequazione equivalente a quella data;
- è ammesso moltiplicare o dividere entrambi i membri per un fattore negativo, ottenendo una disequazione controversa a quella data ( se era > diventa <, e viceversa);
- è vietato moltiplicare o dividere per un fattore di cui non sia noto il segno.