Dubbio su problema di massimo e minimo.

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Sono alle prese con un problema di massimo e di minimo. Il testo è il seguente:

Nel triangolo isoscele $ABC$ la base $BC$ misura $2b$ e la misura comune dei lati congruenti $AB$, $AC$ è $l$. Si considerino i punti $M$, $P$, $Q$ rispettivamente sui lati $AB$, $BC$ e $CA$ in modo che i segmenti $AM$, $BP$ e $CQ$ siano congruenti e si determini la loro misura in modo che sia minima l'area del triangolo $MPQ$.

Nel risultato si distinguono i casi $o Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.

[Sk_Anonymous]

Premetto che non sono sicuro di ciò che scrivo; più che altro è per riflettere. Se, come appare, al variare del segmento (che chiamo x), varia l'area del triangolo che risulta dall'unione dei punti M, P e Q, ottenuti sui lati, allora varierà anche la funzione y= 2x(l-x)+(2b-x)x. La derivata di questa funzione è y' = 2l - 4x + 2b - 2x = 2(l+b) - 6x; uguagliandola a 0 e ricavando la x si ha: x= (l+b)/3.
Provando con un triangolo con i lati uguali pari a 5 e la base pari a 4, si ottiene x=2,3 periodico.
Mi scuso in anticipo con gli implacabili moderatori se ho detto delle castronerie.

[Sk_Anonymous]

Sia $beta $ l'ampiezza degli angoli alla base e $ bar(AM)=x$
Risulta che:
$cos beta=b/L,sin beta=1/L*sqrt(L^2-b^2),sin(pi-2beta)=sin2beta=2sinbetacosbeta=(2b)/(L^2)*sqrt(L^2-b^2)$,h(altezza relativa a BC)=$sqrt(L^2-b^2)$
Ricordando che l'area di un triangolo si può avere anche con la formula $1/2*a*b *sin (gamma)$,segue che:
$A_s(MPQ)=bsqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(L-x)*(2b)/(L^2)*sqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(L-x)*1/L*sqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(2b-x)*1/L*sqrt(L^2-b^2$
Facendo qualche calcolo l'area di MPQ diventa :
(1) $A_s(MPQ)=(sqrt(L^2-b^2))/(2L^2)[2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b]$
Prescindendo dalla costante positiva $sqrt(L^2-b^2)/(2L^2)$ la funzione da minimizzare è :
$f(x)=2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b$
con le condizioni
(2) $0b$
Il grafico di f(x) è una parabola con asse parallelo all'asse y e concava nella direzione positiva
di quest'asse e pertanto ,come è ben noto,il minimo si raggiunge nel vertice ovvero per $x=-b/(2a)$
Nel caso nostro si ha $x=L(L+4b)/(4L+4b)$
Veniamo ora alla discussione sui limiti indicati in (2)
La prima condizione è certamente verificata essendo:
$L(L+4b)/(4L+4b) Per la seconda deve essere:$L(L+4b)/(4L+4b)<2b$ da cui $8b^2+4Lb-L^2>0$ che è soddisfatta per:
$L/4(sqrt3-1) Possiamo concludere quindi che il problema non ha soluzioni ( a meno che non si consideri P fuori dal lato
BC ) per $0

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