Dubbio su logaritmo
Ciao a tutti, ho provato a fare qualche test a risposta multipla in cui erano presenti anche domande sui logaritmi. Inserisco questo perchè sono arrivato ad una soluzione più per esclusione ma non per logica matematica. Chiedo se qualcuno può gentilmente spiegarmi il perchè della soluzione.
$3-e^(x-1)=1$
soluzioni:
a) nessuna soluzione
b) $ x=log_e3 $
c) $ x!= log_e3 $
d) 2 soluzioni
e)infinite soluzioni
Semplificando l'espressione di partenza
$-e^(x-1)=-2$
cambio i segni e faccio diventare tutto positivo poi anche se applico i logaritmi non riesco a ritrovarmici.
Le risposte d) ed e) non hanno senso e le ho scartate; la b) è sbagliata perchè la $ e $ viene elevata alla $x$ per ottenere $3$ e non è la stessa equazione di partenza. la risposta a) l'ho scartata perchè l'equazione è risolvibile, la risposta corretta è la c) ma non so darmi una spiegazione matematica.
Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano
$3-e^(x-1)=1$
soluzioni:
a) nessuna soluzione
b) $ x=log_e3 $
c) $ x!= log_e3 $
d) 2 soluzioni
e)infinite soluzioni
Semplificando l'espressione di partenza
$-e^(x-1)=-2$
cambio i segni e faccio diventare tutto positivo poi anche se applico i logaritmi non riesco a ritrovarmici.
Le risposte d) ed e) non hanno senso e le ho scartate; la b) è sbagliata perchè la $ e $ viene elevata alla $x$ per ottenere $3$ e non è la stessa equazione di partenza. la risposta a) l'ho scartata perchè l'equazione è risolvibile, la risposta corretta è la c) ma non so darmi una spiegazione matematica.
Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano
Risposte
Perché esiste una soluzione ed è diversa da $log_e 3$.
Ma si può trovare la soluzione? Se volessi svolgerla come devo fare?
"Marco1005":
Ma si può trovare la soluzione? Se volessi svolgerla come devo fare?
[tex]x=\ln2+1[/tex], si vede a occhio
"413":
[quote="Marco1005"]Ma si può trovare la soluzione? Se volessi svolgerla come devo fare?
[tex]x=\ln2+1[/tex], si vede a occhio
[/quote]
Grazie per la risposta, aspetta un secondo perchè faccio molta fatica con i log...
applico il $log_e$ ad entrambi i membri giusto? quindi $log_e(e^(x-1))=log_e(2)$
quindi $log_e(e))$ diventa $1$ e $(x-1)$ viene portato davanti per le proprietà dei logaritmi- così il finale è $x=ln2+1$
Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale (il cui codominio è stato ristretto all'immagine [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex]), componendo il logaritmo con l'esponenziale hai la funzione identica.
Usare la proprietà del logaritmo non è sbagliato, ma in questo caso è un po' un passaggio inutile visto che vale l'identità sopra (per definizione); l'importante è avere ben chiaro che il logaritmo è una funzione biunivoca e quindi, in particolare, iniettiva.
Un altro modo di procedere in questo caso particolarmente semplice è quello di usare l'identità
che segue sempre dalla definizione di logaritmo come funzione inversa all'esponenziale con codominio ristretto a [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex] per riscrivere
quindi dall'iniettività dell'esponenziale segue che
[tex][\ln\circ\exp](x)=x[/tex]
Usare la proprietà del logaritmo non è sbagliato, ma in questo caso è un po' un passaggio inutile visto che vale l'identità sopra (per definizione); l'importante è avere ben chiaro che il logaritmo è una funzione biunivoca e quindi, in particolare, iniettiva.
Un altro modo di procedere in questo caso particolarmente semplice è quello di usare l'identità
[tex][\exp\circ\ln](x)=x[/tex]
che segue sempre dalla definizione di logaritmo come funzione inversa all'esponenziale con codominio ristretto a [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex] per riscrivere
[tex]2=e^{\ln2}[/tex]
quindi dall'iniettività dell'esponenziale segue che
[tex]e^{x-1}=e^{\ln2}\rightsquigarrow x-1=\ln2[/tex]
"413":
Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale (il cui codominio è stato ristretto all'immagine [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex]), componendo il logaritmo con l'esponenziale hai la funzione identica.
[tex][\ln\circ\exp](x)=x[/tex]
Usare la proprietà del logaritmo non è sbagliato, ma in questo caso è un po' un passaggio inutile visto che vale l'identità sopra (per definizione); l'importante è avere ben chiaro che il logaritmo è una funzione biunivoca e quindi, in particolare, iniettiva.
Un altro modo di procedere in questo caso particolarmente semplice è quello di usare l'identità
[tex][\exp\circ\ln](x)=x[/tex]
che segue sempre dalla definizione di logaritmo come funzione inversa all'esponenziale con codominio ristretto a [tex]\mathbb{R}_{>0}[/tex] per riscrivere
[tex]2=e^{\ln2}[/tex]
quindi dall'iniettività dell'esponenziale segue che
[tex]e^{x-1}=e^{\ln2}\rightsquigarrow x-1=\ln2[/tex]
Grazie per la risposta. Sarò sincero...il senso di ciò che mi hai spiegato è chiaro, ma faccio fatica a metabolizzarlo in modo tranquillo. Come hai giustamente detto vale l'identità, per cui ad esempio $2^(log_2(2))=2$ , ma generalmente faccio fatica mentalmente a passare dal logaritmo all'esponenziale (tara mentale mia
). Grazie per la risposta esaustiva. 
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