Dubbio su funzione integrale

[oleg.fresi]

Avrei un dubbio sulla funzione integrale: la funzione integrale misura un'area, ed è quindi definita come $F(x)=int_a^xf(t)dt$. Quel che non capisco è perchè la funzione integranda è nella variabile $t$ e non in $x$. Potreste chiarirmi questo per favore?

[gugo82]

"ZfreS":la funzione integrale misura un'area […]

No, in generale.
Un integrale misura un’area solo quando l’integrando è ovunque $>=0$ nell’intervallo di integrazione.

"ZfreS":[…] ed è quindi definita come $F(x)=int_a^xf(t)dt$. Quel che non capisco è perchè la funzione integranda è nella variabile $t$ e non in $x$. Potreste chiarirmi questo per favore?

La variabile di integrazione in un integrale definito è una variabile “muta”, poiché dalla formula fondamentale del Calcolo Integrale (o formula di Torricelli & Barrow):
\[
\int_a^b f(t)\ \text{d} t = F(b) - F(a)
\]
segue che il valore dell’integrale dipende solo dagli estremi (e dalla funzione stessa, ovviamente, attraverso una sua primitiva); dunque i simboli:
\[
\int_a^b f(t)\ \text{d} t ,\quad \int_a^b f(x)\ \text{d} x ,\quad \int_a^b f(u)\ \text{d} u ,\quad \int_a^b f(\text{Pippo})\ \text{d} \text{Pippo}
\]
denotano tutti lo stesso numero (cioè $F(b) - F(a)$).
Per questo motivo, quando un estremo di integrazione contiene una variabile $x$, è buona norma cambiare il nome della variabile di integrazione per non confondersi.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille per il chiarimento!