Dubbio su continuità

[caffeinaplus]

Salve a tutti, ho un dubbio che mi assale.
Supponiamo di avere una funzione $f$ definita su $RR\\{x_0}$ e che in questo punto sia vero che $lim_(x\rightarrowx_0^+) f(x) = lim_(x\rightarrowx_0^-) f(x)$
E che il limite diverga nello stesso verso
Ma allora la funzione si può considerare continua in tutto il suo dominio o no?
Mi spiace se molti di voi la troveranno banale, ma ho ricevuto vari pareri che mi hanno creato confusione.
Grazie per l'attenzione

[Zero87]

No perché in $x_0$ non è definita.

EDIT
Non avevo letto "nel suo dominio", la risposta è "sì" , non "no" come avevo detto. Nel suo dominio è continua, non è continua in $\RR$.
Chiedo scusa per la svista.

[gugo82]

"caffeinaplus":Supponiamo di avere una funzione $f$ definita su $RR\\{x_0}$ e che in questo punto sia vero che $lim_(x\rightarrowx_0^+) f(x) = lim_(x\rightarrowx_0^-) f(x)$ e che il limite diverga nello stesso verso.
Ma allora la funzione si può considerare continua in tutto il suo dominio o no?

No, perché non è supposto che $f$ lo sia in nessun punto.

Esempio.
La funzione definita ponendo:
\[
d(x) := \begin{cases} 1 &\text{, se } x \in \mathbb{Q} \\ 2 &\text{, se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}
\]
la quale vale $1$ sui razionali e $2$ sugli irrazionali non è continua in nessun punto del suo dominio $RR$; allora la funzione che si ottiene moltiplicando $d$ per la funzione $1/x^2$ continua e positivamente divergente in $0$ , cioè:
\[
f(x) := \frac{1}{x^2}\ d(x)
\]
soddisfa la relazione $lim_(x -> 0^+) f(x) = +oo = lim_(x -> 0^(-)) f(x)$[nota]Perché dalla definizione di $d$ e di $f$ segue che $f(x) >= 1/x^2$ per ogni $x!=0$, cosicché $lim_(x->0^(+-))f(x) = +oo$ per confronto.[/nota] e però non è continua in nessun punto, né in $0$ (perché non vi è definita!) né nei punti del suo dominio $text(Dom)(f) =RRsetminus \{0\}$.[nota]Che $f$ non sia continua in nessun punto del proprio dominio si può dimostrare come segue.

Per assurdo, supponiamo che $f$ sia continua in $x_0 in text(Dom) (f)$. Allora $d(x) = x^2 * f(x)$ sarebbe una funzione continua in $x_0$ (poiché prodotto di funzioni continue in tal punto); ma ciò è assurdo, perché $d$ è discontinua ovunque in $RR$.

[/nota]

[caffeinaplus]

Grazie a tutti.
Mi spiace ma ho dimenticato di specificare che stavo supponendo la funzione continua nel resto del suo dominio ed ero interessato se era possibile dire che lo fosse in tutto il suo dominio tenendo conto delle proprietà che le ho dato con il mio primo post.
Mea culpa
Ripeto grazie mille a tutti

[Zero87]

"gugo82":No, perché non è supposto che $f$ lo sia in nessun punto.

Ottimo, avevo letto "f" continua per ipotesi. Hai ragione tu Gugo.
Per quello che mi riguarda, meglio che mi limito alle presentazioni.

[gugo82]

Ma figurati, Zero… Hai fatto bene a rispondere.
Piuttosto, sono stato io a voler portare lo OP a riflettere sul fatto che troppo spesso alle superiori il termine “funzione” sia usato ed interpretato nell’accezione più ristretta di “funzione elementare”, cosicché tutte le funzioni sembrano continue e non serve supporlo esplicitamente.
Ciò semplicemente non è vero: esistono funzioni ovunque discontinue; esistono funzioni continue in un numero finito qualsiasi di punti, ma non continue altrove; esistono funzioni che sono continue sui razionali e discontinue sugli irrazionali… Insomma, esistono funzioni arbitrariamente (o quasi) brutte nella teoria della variabile reale.