Dubbio procedimento verifica del limite

[Marco1985Mn]

Rieccomi.
Mi sono trovato davanti questo esercizio sui limiti.



Non ho la minima idea di come procedere nonostante l'esercizio svolto.
a cosa mi serve epsilon?
cosa vuol dire impostare la disequazione con il minore? cosa dovrei trovare ?

Grazie mille

[ghira1]

"Marco1005":
a cosa mi serve epsilon?

Se vuoi arrivare (tot) vicino a $l$, quanto devi essere vicino a $x_0$ inizialmente?

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"]
a cosa mi serve epsilon?

Se vuoi arrivare (tot) vicino a $l$, quanto devi essere vicino a $x_0$ inizialmente?[/quote]

eh $x_$ deve tendere a un numero $x_0$ e quando la x si avvicina a x0 quel numero è il limite

[ghira1]

"Marco1005":
eh $x_$ deve tendere a un numero $x_0$ e quando la x si avvicina a x0 quel numero è il limite

Sii più specifico. Se vuoi che $(x^2+1)$ disti al massimo 0,001 da 5, da dove devi cominciare?

Se vuoi che $(x^2+1)$ disti al massimo 0,00001 da 5, da dove devi cominciare?

Se vuoi che $(x^2+1)$ disti al massimo $\epsilon$ da 5, da dove devi cominciare?

[gugo82]

La definizione di limite $lim_(x -> x_0) f(x) = l$ con $x_0$ al finito ed $l$ finito, puoi pensarla operativamente così:

Per ogni $epsilon > 0$ l'insieme delle soluzioni della disequazione $|f(x) - l| < epsilon $ (col parametro $epsilon$ e nell'incognita $x$) contiene un intorno completo di $x_0$ (eventualmente privato di $x_0$.

Quindi per dimostrare, ad esempio, che $lim_(x -> 2) x^2 + 1 = 5$ devi:

[list=1][*:2rsbs3et] impostare e risolvere (discutendola) la disequazione $|x^2 + 1 - 5| < epsilon$ col parametro $epsilon > 0$ (ma basta $epsilon$ "piccolo"),

[/*:m:2rsbs3et]
[*:2rsbs3et] mostrare che per ogni $epsilon > 0$ (ma basta $epsilon$ "piccolo") nell'insieme delle soluzioni della disequazione precedente puoi sempre isolare un intorno completo di $2$, cioè che l'insieme delle soluzioni contiene un intervallo aperto del tipo $]2-delta, 2+delta[$.[/*:m:2rsbs3et][/list:o:2rsbs3et]

Se non riesci a fare ciò che è scritto al punto 2, semplicemente il limite ipotizzato non è quello corretto.

Nel caso dell'esempio, la disequazione $|x^2 - 4| < epsilon$ è equivalente al sistema:

$\{ (x^2 > 4 - epsilon), (x^2 < 4 + epsilon):}$

che è:

[*:2rsbs3et] equivalente a:

$\{ (x in RR), (x^2 < 4+epsilon):} <=> -sqrt(4+epsilon) < x < sqrt(4+epsilon)$

per $epsilon > 4$,

[/*:m:2rsbs3et]
[*:2rsbs3et] equivalente a:

$\{ (x < -sqrt(4-epsilon) vv x> sqrt(4-epsilon)),( -sqrt(4+epsilon) < x < sqrt(4+epsilon)):} <=> -sqrt(4+epsilon) < x< -sqrt(4-epsilon) vv sqrt(4-epsilon) < x < sqrt(4+epsilon)$

per $0 < epsilon <= 4$;[/*:m:2rsbs3et][/list:u:2rsbs3et]

in ognuno dei due casi l'insieme delle soluzioni contiene un intorno simmetrico di $2$, quindi sei "a cavallo".

[Marco1985Mn]

"ghira":
Sii più specifico. Se vuoi che $(x^2+1)$ disti al massimo 0,001 da 5, da dove devi cominciare?

mmmhh...allora se la funzione in un punto qualsiasi $x$ ha un determinato valore, e quando tende a $x_0$ il valore tende al limite finito $5$, voglio impostare che la distanza tra i due punti sia minima. Ok giusto, allora devo dire che la distanza tra il valore della funzione in $x$ e il valore del limite sia inferiore ad una certa quantità piccolissima cioè $ epsilon$
Imposto questa distanza come differenza tra le "y", passatemi il termine , quindi risolvo come ha scritto gugo:

$|x^2+1-5|
ipotizzo pertanto i due casi, valore assoluto positivo e valore assoluto negativo.

$ { ( x^2-4
$ { ( x^2<4 +epsilon ),(x^2>4-epsilon ):} $

la prima disequazione è sempre vera, quindi la soluzione in comune è solo la seconda.

Non ho ben capito però l'ultima parte di gugo, come arrivo a stabilire $0

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[@melia]

Perché se $epsilon>4$ quella disequazione è sempre vera. Se prendi degli $epsilon$ grandi la disequazione potrebbe essere verificata anche da valori che non sono quelli del limite.

[ghira1]

"Marco1005":
$ { ( x^2-4
$ { ( x^2<4 +epsilon ),(x^2>4-epsilon ):} $

la prima disequazione è sempre vera

??

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"]
$ { ( x^2-4
$ { ( x^2<4 +epsilon ),(x^2>4-epsilon ):} $

la prima disequazione è sempre vera

??[/quote]

La seconda pardon, le ho invertite guardando quelle postate da gugo

[ghira1]

?? comunque. Per esempio, $x=1$, $\epsilon=0,01$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Marco hai confusione sul modulo.

Dato $epsilon>0$, scrivere $|x|

Cita

Segnala

[ghira1]

"Marco1005":
ipotizzo pertanto i due casi, valore assoluto positivo e valore assoluto negativo.

Valore assoluto negativo??

[Marco1985Mn]

"@melia":Perché se $epsilon>4$ quella disequazione è sempre vera. Se prendi degli $epsilon$ grandi la disequazione potrebbe essere verificata anche da valori che non sono quelli del limite.

Ok, invece la disequazione deve essere verificata solo quando mi avvicino al limite, cioè quando di $x_0->2$
se ,come dici tu, avessi $epsilon$ grande la disequazione sarebbe verificata fino a quando $|f(x)-l| < 10$

ma qui sto analizzando valori che non hanno più nulla a che vedere con l'intorno di partenza che era 2. Giusto?

Grazie mille

[Marco1985Mn]

"ghira":?? comunque. Per esempio, $x=1$, $\epsilon=0,01$.

quindi se impongo $x=1$ e $epsilon=0,01$ ottengo

$1^2-4
quindi $-3
le x però le scelgo in intorni di 2 giusto?

[Marco1985Mn]

"Martino":Marco hai confusione sul modulo.

Dato $epsilon>0$, scrivere $|x|

nel senso che ciò che sta dentro al valore assoluto può essere sia positivo che negativo.
Nel caso in cui x sia positivo riscrivo direttamente $x nel caso in cui x sia negativo scrivo $-x -epsilon$

[ghira1]

"Marco1005":[quote="ghira"]?? comunque. Per esempio, $x=1$, $\epsilon=0,01$.

quindi se impongo $x=1$ e $epsilon=0,01$ ottengo

$1^2-4
quindi $-3
le x però le scelgo in intorni di 2 giusto?[/quote]

Avrei dovuto dire solo $\epsilon=0,01$. Per quali $x$ la disequazione è vera? Tu sembri dire "sempre".

[Marco1985Mn]

"ghira":
Avrei dovuto dire solo $\epsilon=0,01$. Per quali $x$ la disequazione è vera? Tu sembri dire "sempre".

è vera fino a che $x< 4$ o meglio fintanto che la differenza tra $x^2-4$ è inferiore a $epsilon$ che nel nostro caso abbiamo fissato essere 0,01

[Marco1985Mn]

Il mio problema è tradurre in italiano tutto ciò.
Mi spiego meglio.
Trovo l'intorno completo di $2$, perfetto - e per quale motivo trovando questo intorno completo potrei dire che il limite è verificato. Come posso spiegarlo in parole povere?

questa può essere un'interpretazione valida?
Mano a mano che la $x$ si avvicina a $x_0$ il valore della funzione tende ad avvicinarsi al limite. Se la x è praticamente vicinissima a $x_0$ la loro distanza è piccolissima. quando questa distanza è più piccola di un valore fissato arbitrariamente $epsilon$, allora questa distanza aggiunta o sottratta a $x_0$ rappresenta un intorno completo. bo non sono convinto

[Marco1985Mn]

che dite può andare come ragionamento....

[ghira1]

"Marco1005":[quote="ghira"]
Avrei dovuto dire solo $\epsilon=0,01$. Per quali $x$ la disequazione è vera? Tu sembri dire "sempre".

è vera fino a che $x< 4$ o meglio fintanto che la differenza tra $x^2-4$ è inferiore a $epsilon$ che nel nostro caso abbiamo fissato essere 0,01[/quote]

Puoi spiegarti meglio? -10000000 < 4, per esempio. E perché 4? La differenza fra $x^2-4$ e cosa? Non ti seguo affatto.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Dato $epsilon > 0$ qualsiasi, vuoi trovare $delta>0$ tale che ogni volta che $|x-2| < delta$ hai che $|x^2-4|0$.

Quello che devi fare quindi è riformulare la disuguaglianza $|x^2-4| < epsilon$ in modo diverso, per cominciare la scrivi come $-epsilon < x^2-4 < epsilon$ e poi, dopo qualche conto (sommi 4 a tutti i membri, estrai le radici quadrate ricordando che $x>0$, sottrai 2), nel caso in cui $epsilon < 4$, la puoi riformulare come $sqrt(4-epsilon)-2 < x-2 < sqrt(4+epsilon)-2$. Cosa ti verrebbe da scegliere come $delta$?