Dubbio limite

[lepre561]

$lim_(xtoinfty)(x(ln(3x+1)/(3x)))$

avevo pensato di dividere il 3x in 2x+x per applicare il limite notevole ma poi non riesco a proseguire


aiuto

[caffeinaplus]

Qui non credo tu abbia bisogno di aiuto, ma di leggerlo almeno l'esercizio

[cooper1]

"lepre561":avevo pensato di dividere il 3x in 2x+x per applicare il limite notevole ma poi non riesco a proseguire

cosa dice il limite notevole? ti sembra possa essere applicato? perchè?

[lepre561]

non puo essere appliccato perche deve tendere a zero?

[lepre561]

inoltre ho pensato di adottare un cambio di variabile imponendo 3x=y

fattibile?

[caffeinaplus]

se hai scritto bene il limite

$(xln(3x+1))/(3x) = ln(3x+1)/(3)$

Da qui dovresti saperlo fare..

[lepre561]

non riesco a continuare perchè sono impiantato sul cambiamento di variabile perchè io faccio 3x=y x=y/3

$ln lim_(xtoinfty)(1+(1/y))^(y/3)$

$lne^(1/3)$=$1/3$

[@melia]

Scusami, lepre, sei sicuro del testo?

[cooper1]

"lepre561":non puo essere appliccato perche deve tendere a zero?

esatto.

"lepre561":non riesco a continuare perchè sono impiantato sul cambiamento di variabile perchè io faccio 3x=y x=y/3

non sai continuare perchè hai fatto un pasticcio con le sostituzioni. con il cambiamento $y=3x$ ottieni
$lim_(y->+oo)y/3(ln(y+1))/y$
ora le due y si semplificano e ti rimane un limite identico a quello proposto da caffeinaplus (che più velocemente si è evitato un cambio di variabili inutile semplificando subito le x)

[lepre561]

il limite è $x*ln((3x+1)/(3x))$

[caffeinaplus]

Che è ben diverso

$lim_(x->+oo) ln((1+1/(3x))^x)$

$lim_(x->+oo) ln(( (1+1/(3x))^(3x))^(1/3))$

Che fa $ln(e^(1/3))=1/3$

[cooper1]

risoluzione alternativa sfruttando il limite notevole del logaritmo anzichè quello di e potrebbe essere:
$lim_(x-> +oo)xln(1+1/(3x))=lim_(x-> +oo)x(ln(1+1/(3x)))/(1/(3x))1/(3x)=lim_(x-> +oo)x*1*1/(3x)=1/3$

[lepre561]

ma quindi come avevo pensato io con il cambio di variabile non era possibile?

[cooper1]

è possibile anche con il cambio variabile se vuoi. prova per esempio a porre $y=1/(3x)$