Dubbio limite

[lepre561]

$lim_(xto+infty)(x+1)^(1/lnx)$

$e^(ln(x+1)^(1/lnx))$

$e^(1/(lnx)*ln(x+1)$

ora il mio dubbio è la parte finale dell'esercizio ovvero si moltiplica la parentesi per ln cosi $lnx$ si seemplifica con $lnx$ mentre $ln1$ va a zero

ed il risultato finale è $e$


giusto?

[caffeinaplus]

Lavorando solo sugli esponenti

$ln(x+1)/lnx =
((lnx+ln(1+1/x))/lnx)=$

$1+ln(1+1/x)/lnx=
1$

[lepre561]

$ln(x+1)/lnx$ questo mi è chiaro
$((lnx+ln(1+1/x))/lnx)=$ questo no

come mai viene $ln(1+1/x)$

[caffeinaplus]

Sono le proprietà dei logaritmi

[lepre561]

quale in particolare...mi sfugge

inoltre se moltiplicassi solo $ln(x+1)$ ottenendo $lnx+ln1$?

[Indrjo Dedej]

\[\ln(x+1)=\ln\bigg((x+1)\frac x x\bigg)=\dots=\ln\bigg(x\bigg(1+\frac1x\bigg)\bigg)=\dots\] Sotto quali condizioni? È importante...

[Zero87]

Quando capito mi intrometto e cerco di tirare il fiato. Vediamo, una cosa per volta.

"lepre561":$ ((lnx+ln(1+1/x))/lnx)= $ questo no
come mai viene $ ln(1+1/x) $

La risposta a questo punto è l'ultimo messaggio di @Indrjo Dedej

"Indrjo Dedej":\[ \ln(x+1)=\ln\bigg((x+1)\frac x x\bigg)=\dots=\ln\bigg(x\bigg(1+\frac1x\bigg)\bigg)=\dots \]

in altre parole moltiplica e divide per $x$ per poi usare le proprietà dei logaritmi.
Inoltre, un ultimo appunto, se ho capito bene cosa intendi

"lepre561":inoltre se moltiplicassi solo $ ln(x+1) $ ottenendo $ lnx+ln1 $?

no, questo non si può fare. Vale $log(ab)=log(a)+log(b)$ ma $log(a+b)$ resta così, non si può usare quella proprietà in presenza di una somma nell'argomento.

Ok, mi è sembrato doveroso fare queste specifiche vedendo alcune domande sovrapporsi, poi magari tali specifiche non servivano.