Dubbio integrale definito fratta
Rieccomi per colmare alcune lacune sugli integrali:
$int_(0)^(1)(x^2+2)/(x^3+6x+1)dx$
Personalmente riscriverei il denominatore come
$(x^3+6x+1)^(-1)$ per portarlo al numeratore ma poi non saprei come proseguire.
Se gli integrali sono facili riesco a ragionare, ma quando sono già più complessi tabula rasa.
Accetto suggerimenti per proseguire (ps. No soluzione)
Grazie mille come sempre
$int_(0)^(1)(x^2+2)/(x^3+6x+1)dx$
Personalmente riscriverei il denominatore come
$(x^3+6x+1)^(-1)$ per portarlo al numeratore ma poi non saprei come proseguire.
Se gli integrali sono facili riesco a ragionare, ma quando sono già più complessi tabula rasa.
Accetto suggerimenti per proseguire (ps. No soluzione)
Grazie mille come sempre
Risposte
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"sellacollesella":
[quote="Marco1005"]Accetto suggerimenti per proseguire.
Sostituzione: \(t=x^3+6x+1\).[/quote]
perchè sella? non ha niente in comune con il numeratore per cui possa riscrivere il tutto in funzione di t
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"sellacollesella":
Uomo di poca fede! Se \(t=x^3+6x+1\), allora \(\text{d}t=3(x^2+2)\text{d}x\) e l'integrale diventa elementare.
Aspetta sono già in crisi:
la funzione da integrare è già la derivata di qualcosa, perchè dovrei riderivare ancora in t?
.
Porta pazienza sella spiegami please il significato di "differenziare ambo i lati". Non ho fatto integrali alle superiori e solo accennati all'università 
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Differenziando è sinonimo di derivando ambo i lati? (so che non è così perchè il differenziale non è la derivata ma può andare?)
A livello pratico (ovvero al livello di questi esercizi), derivi da un lato e dall'altro ...
Però se non hai mai fatto integrali a questo livello (che è elementare), è un po' dura ...
Però se non hai mai fatto integrali a questo livello (che è elementare), è un po' dura ...
@ Marco1005
Si tratta di un integrale quasi immediato. Anche alle superiori si propongono senza scomodare il metodo di sostituzione, tipicamente affrontato in un momento successivo. Se ti riduci al modello sottostante (basta ricordare la regola di derivazione di una funzione composta):
puoi concludere dopo un semplice artificio:
P.S.
Ad ogni integrale immediato corrisponde un integrale quasi immediato. Tipicamente, nella teoria e negli esercizi, sono suddivisi in modelli. Solo per fare i primi due:
Si tratta di un integrale quasi immediato. Anche alle superiori si propongono senza scomodare il metodo di sostituzione, tipicamente affrontato in un momento successivo. Se ti riduci al modello sottostante (basta ricordare la regola di derivazione di una funzione composta):
$\int(f'(x))/f(x)dx=ln|f(x)|+c$
puoi concludere dopo un semplice artificio:
$\int(x^2+2)/(x^3+6x+1)dx=1/3\int(3x^2+6)/(x^3+6x+1)dx=1/3ln|x^3+6x+1|+c$
P.S.
Ad ogni integrale immediato corrisponde un integrale quasi immediato. Tipicamente, nella teoria e negli esercizi, sono suddivisi in modelli. Solo per fare i primi due:
Esempio 1
$\alpha ne -1$
$\intx^\alphadx=x^(\alpha+1)/(\alpha+1)+c rarr$
$rarr \intf'(x)[f(x)]^\alphadx=[f(x)]^(\alpha+1)/(\alpha+1)+c$
Esempio 2
$\alpha=-1$
$\int1/xdx=ln|x|+c rarr$
$rarr \int(f'(x))/f(x)dx=ln|f(x)|+c$
Grazie per la risposta mi era passato di mente pardon.
Si con le primitive effettivamente risulta più facile rispetto alla sostituzione.
Si con le primitive effettivamente risulta più facile rispetto alla sostituzione.
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