Dubbio forma intederminata.

[Marco2123]

Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in questa forma indeterminata, che mio malgrado fatico a risolvere.
$ lim_(x->0)(cosx)^(-4/x^2) $ . E' una di quelle forme che normalmente darebbe $ 1^oo $ , dunque dovrei usare considerare $ e^(lnf(x)g(x)) $ . Nel calcolo, tuttavia, non so come procedere, sapreste darmi aiuto?

[mic999]

è giusto considerare l'esponenziale!! prova ad abbozzare una soluzione.. intanto ti consiglio di usare l'hopital quando arriverai a sviluppare il termine $ln(cos(x))/{x^2}$ e di conseguenza il $lim_{x->0} ln(cos(x))/{x^2}$

[LoreT314]

io direi
$lim_(x -> 0) e^(-4/x^2lncosx)$
a questo punto noti che l'esponente al tendere di x a zero tende a $2$ (lo puoi verificare facilmente applicando l'hopital)
quindi cambiando variabile e chiamando $-4/x^2lncosx$ per esempio $t$ hai
$lim_(t -> 2)e^t=e^2$

[Marco2123]

Grazie mille ragazzi, già mi avete tolto un primo dubbio. Devo tuttavia annunciarvi che questo esercizio rientra in un capitolo precedente al Teorema di De l'Hopital. Ho difficoltà dunque a sviluppare $lim_{x->0} ln(cos(x))/{x^2}$

[mic999]

io lo risolverei cosi:

$lim_{x->0} -4 ln(cos(x))/x^2 = lim_{x->0} -4 ln((cos(x)-1)+1)/x^2 = lim_{x->0} -4 ln((cos(x)-1)+1)/{cos(x)-1} {cos(x)-1}/x^2$ dove ho semplicemente moltiplicato e diviso per una stessa quantità ($cos(x)-1$ in questo caso).
A questo punto sai che
$lim_{x->0} ln((cos(x)-1)+1)/{cos(x)-1} =1$ per il limite notevole del logaritmo, siccome $(cos(x)-1) ->0$ per $x->0$ (è infinitesima)
e sai anche che $lim_{x->0} {cos(x)-1}/x^2 = -1/2$ dato che è il limite notevole!
Infine, trovi che limite è $= -4*1*(-1/2) =2$.. da qui il risultato $=e^2$

[Palliit]

$lim_(xto 0)(cosx)^(-4/x^2)=lim_(xto 0)(sqrt(1-sin^2x))^(-4/x^2)=lim_(xto 0)(1-sin^2x)^(-2/x^2)=lim_(xto 0)(1-sin^2x)^(-1/sin^2x*2sin^2x/x^2)=$

$=lim_(xto 0)[(1-sin^2x)^(-1/sin^2x)]^(2sin^2x/x^2)$.

Arrivato a questo punto, con riferimenti a due limiti fondamentali trovi che la base (la parentesi quadra) tende ad $e$ e l'esponente a $2$.