Dubbio flesso verticale studio di funzione
solito dubbio della sera post cena.
Stavo riguardando un esercizio sullo studio di funzione.
Arrivato al punto sul calcolo della derivata seconda penso "basta trovare i punti dove la derivata seconda si annulla, controllare che ci sia il cambio di concavità e siamo in presenza di un punto di flesso orizzontale".
Ma poi rileggo gli appunti di una prof della mia studente che scrive vicino al calcolo della derivata seconda
"se risultato $!=0$ flesso obliquo"
"se risultato $=0$ flesso orizzontale"
"se la y non c'è è flesso verticale"
Per y che non c'è immagino un punto di non derivabilità giusto?
grazie mille
Stavo riguardando un esercizio sullo studio di funzione.
Arrivato al punto sul calcolo della derivata seconda penso "basta trovare i punti dove la derivata seconda si annulla, controllare che ci sia il cambio di concavità e siamo in presenza di un punto di flesso orizzontale".
Ma poi rileggo gli appunti di una prof della mia studente che scrive vicino al calcolo della derivata seconda
"se risultato $!=0$ flesso obliquo"
"se risultato $=0$ flesso orizzontale"
"se la y non c'è è flesso verticale"
Per y che non c'è immagino un punto di non derivabilità giusto?
grazie mille
Risposte
Risultato di cosa?
Parlami di $y=x^4$.
Parlami di $y=|\frac{1}{x}|$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=\root(3)(x)$.
Parlami di $y=1$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=x^2$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=x^3$. Per $x\ne 0$.
Se dico "per $x \ne 0$ intendo che 0 è escluso dal dominio della funzione. Altrimenti il dominio è $\mathbb R$.
Parlami di $y=x^4$.
Parlami di $y=|\frac{1}{x}|$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=\root(3)(x)$.
Parlami di $y=1$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=x^2$. Per $x\ne 0$.
Parlami di $y=x^3$. Per $x\ne 0$.
Se dico "per $x \ne 0$ intendo che 0 è escluso dal dominio della funzione. Altrimenti il dominio è $\mathbb R$.
la funzione di partenza è
$y=(2x^2+2)/x$
$y'=(2x^2-2)/x^2$
dallo studio del segno della derivata prima emerge che nel punto $x=-1$ ho un max relativo
nel punto $x=1$ ho un min relativo.
calcolo la derivata seconda e ne studio il segno
$y''=4/x^3$
prima di 0 ha concavità verso il basso, dopo 0 ha concavità verso l'alto. Ma in zero non c'è punto di flesso perchè la derivata seconda non si annulla, quindi non è un punto stazionario.
Zero è un punto escluso dal dominio, quindi è un punto di non derivabilità. Qui secondo la definizione della prof "dove non esiste y" sarebbe una tangente orizzontale? non mi è chiarissimo
$y=(2x^2+2)/x$
$y'=(2x^2-2)/x^2$
dallo studio del segno della derivata prima emerge che nel punto $x=-1$ ho un max relativo
nel punto $x=1$ ho un min relativo.
calcolo la derivata seconda e ne studio il segno
$y''=4/x^3$
prima di 0 ha concavità verso il basso, dopo 0 ha concavità verso l'alto. Ma in zero non c'è punto di flesso perchè la derivata seconda non si annulla, quindi non è un punto stazionario.
Zero è un punto escluso dal dominio, quindi è un punto di non derivabilità. Qui secondo la definizione della prof "dove non esiste y" sarebbe una tangente orizzontale? non mi è chiarissimo
"Marco1005":
Zero è un punto escluso dal dominio, quindi è un punto di non derivabilità. Qui secondo la definizione della prof "dove non esiste y" sarebbe una tangente orizzontale? non mi è chiarissimo
Se non è nel dominio, non mi pare che sia pertinente.
"ghira":
[quote="Marco1005"]
Zero è un punto escluso dal dominio, quindi è un punto di non derivabilità. Qui secondo la definizione della prof "dove non esiste y" sarebbe una tangente orizzontale? non mi è chiarissimo
Se non è nel dominio, non mi pare che sia pertinente.[/quote]
essendo un punto di non derivabilità, non può che esserci una tangente verticale no?
Parlami di $y=|x|$.
Ghira io faccio sempre fatica a distinguere il discorso flessi. 
Mi spiego meglio.
Se analizzo i punti stazionari della derivata prima, riesco a capire se:
ho un punto di max relativo;
ho un punto di min relativo;
ho un punto di flesso a tangente orizzontale (ascendente o discendente)
Ma poi so che il punto di flesso lo ottengo studiando il segno della derivata seconda;
dove deve verificarsi di fatto un cambio di segno in un intorno di $x_0$ per affermare che ci sia realmente l'inversione della concavità.
In definitiva per capire se c'è il flesso o no, mi basta la derivata prima?
Grazie mille
Mi spiego meglio.
Se analizzo i punti stazionari della derivata prima, riesco a capire se:
ho un punto di max relativo;
ho un punto di min relativo;
ho un punto di flesso a tangente orizzontale (ascendente o discendente)
Ma poi so che il punto di flesso lo ottengo studiando il segno della derivata seconda;
dove deve verificarsi di fatto un cambio di segno in un intorno di $x_0$ per affermare che ci sia realmente l'inversione della concavità.
In definitiva per capire se c'è il flesso o no, mi basta la derivata prima?
Grazie mille
Non mi hai parlato di $x^4$ ecc.
"ghira":
Non mi hai parlato di $x^4$ ecc.
Eccomi.
Allora vediamo. Il dominio è $R$, funzione pari, simmetrica rispetto all'asse y.
calcolo la derivata prima e ne studio il segno
$y'=4x^3$
positiva per $x>0$
negativa per $x<0$
uguale a zero per $x=0$
quindi nel punto stazionario $x=0$ abbiamo un minimo relativo.
Funzione continua, in quanto in ogni punto del dominio non vi sono discontinuità.
Se calcolo il limite per $x->x_0$ ottengo sempre la corrispondenza tra $f(x) =l$
tecnicamente è derivabile in ogni suo punto visto che non sono presenti punti di discontinuità.
Analizzo la derivata seconda e ottengo
$y=12x^2$
la derivata seconda si annulla in $x=0$
dallo studio del segno capisco che è sempre positiva, quindi la concavità è sempre rivolta verso l'alto.
Per cui, deduco che se anche in $x=0$ la derivata seconda si annulla, non siamo in presenza di un punto di flesso.
"Marco1005":
...
Ma poi rileggo gli appunti di una prof della mia studente che scrive vicino al calcolo della derivata seconda
"se risultato $!=0$ flesso obliquo"
"se risultato $=0$ flesso orizzontale"
"se la y non c'è è flesso verticale"
Le cose che hai letto sugli appunti della studentessa si riferiscono alla derivata prima, cioè se la derivata seconda cambia segno in $x_0$ e
1- la derivata prima è $!=0$ flesso obliquo
2- la derivata prima è $=0$ flesso orizzontale
3- la derivata prima non esiste, allora flesso verticale.
Esempi esemplificativi, con flesso in $x=0$
1- $y=x^3-3x$
2- $y=x^3$
3- $y=root(3)(x)$
"@melia":
3- la derivata prima non esiste, allora flesso verticale.
Non funziona con $y=|x|$, mi pare.
"ghira":
[quote="@melia"]
3- la derivata prima non esiste, allora flesso verticale.
Non funziona con $y=|x|$, mi pare.[/quote]
Perché la derivata seconda non cambia segno
I flessi verticali non credo di averli mai visti prima di questo filone. Dovrei avere qualche libro di analisi a casa. Controllo.
[size=200]$root(3)(x)$[/size]
https://mathworld.wolfram.com/InflectionPoint.html
"A necessary condition for $x$ to be an inflection point is $f^{''}(x)=0$"
Ecco perché sono dubbioso.
"A necessary condition for $x$ to be an inflection point is $f^{''}(x)=0$"
Ecco perché sono dubbioso.
La funzione che ho scritto è definita su tutto $RR$ (ho usato la radice e non l'esponente frazionario e questo fa tutta la differenza del mondo 
), è continua e in $x_0$ cambia concavità.
Poi, vedi tu se chiamarlo "flesso" oppure no ...
), è continua e in $x_0$ cambia concavità.Poi, vedi tu se chiamarlo "flesso" oppure no ...
In effetti non è detto che inevitabilmente, se la derivata seconda cambia segno e la derivata prima non esiste, per forza il flesso debba essere verticale.
Se consideriamo ad es. la funzione:
$f(x) = {((-1+e^x)/2, x<0), (1-e^(-x), x ge 0):}$
Si tratta di una funzione continua in x=0, la derivata prima in x=0 non esiste, e inoltre la derivata seconda ha segno positivo per x<0 e negativo per x>0 ma il flesso, posto che si possa definire che esista, comunque non è verticale.
Se consideriamo ad es. la funzione:
$f(x) = {((-1+e^x)/2, x<0), (1-e^(-x), x ge 0):}$
Si tratta di una funzione continua in x=0, la derivata prima in x=0 non esiste, e inoltre la derivata seconda ha segno positivo per x<0 e negativo per x>0 ma il flesso, posto che si possa definire che esista, comunque non è verticale.
Ma la derivata seconda non è definita in $x=0$, no?
Secondo te nell'esempio che ho riportato e in $root(3)x$ è definita in x=0?
Come detto, la funzione [size=200]$root(3)(x)$[/size] è definita su TUTTO $RR$ perché ho usato il segno di radice (ovvero con indice naturale) e non un esponente non naturale.
È l'inversa di $x^3$.
Ed è così.
Invece [size=200]$x^(1/3)$[/size] non è definita su tutto $RR$ ma solo per $x>0$.
È l'inversa di $x^3$.
Ed è così.
Invece [size=200]$x^(1/3)$[/size] non è definita su tutto $RR$ ma solo per $x>0$.
Intendevo la derivata seconda in x=0
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