Dubbio flesso verticale studio di funzione
solito dubbio della sera post cena.
Stavo riguardando un esercizio sullo studio di funzione.
Arrivato al punto sul calcolo della derivata seconda penso "basta trovare i punti dove la derivata seconda si annulla, controllare che ci sia il cambio di concavità e siamo in presenza di un punto di flesso orizzontale".
Ma poi rileggo gli appunti di una prof della mia studente che scrive vicino al calcolo della derivata seconda
"se risultato $!=0$ flesso obliquo"
"se risultato $=0$ flesso orizzontale"
"se la y non c'è è flesso verticale"
Per y che non c'è immagino un punto di non derivabilità giusto?
grazie mille
Stavo riguardando un esercizio sullo studio di funzione.
Arrivato al punto sul calcolo della derivata seconda penso "basta trovare i punti dove la derivata seconda si annulla, controllare che ci sia il cambio di concavità e siamo in presenza di un punto di flesso orizzontale".
Ma poi rileggo gli appunti di una prof della mia studente che scrive vicino al calcolo della derivata seconda
"se risultato $!=0$ flesso obliquo"
"se risultato $=0$ flesso orizzontale"
"se la y non c'è è flesso verticale"
Per y che non c'è immagino un punto di non derivabilità giusto?
grazie mille
Risposte
Ok ma quello che volevo dire è che la radice terza di $x$ è definita in zero, è continua e in zero CAMBIA concavità, aggiungici pure che in quel punto la pendenza è verticale e in conclusione come lo vuoi chiamare quel punto?
Io lo chiamerei "flesso verticale", forse è un abuso di notazione, può darsi ma altrimenti?
Io lo chiamerei "flesso verticale", forse è un abuso di notazione, può darsi ma altrimenti?
La radice cubica è un esempio di flesso verticale, ovvero di cambio di concavità in un punto con tangente infinita.
Il mio post infatti non riguardava l'esempio della radice, che ritengo corretto, ma il fatto che se la derivata prima non esiste e la funzione cambia di concavità non è detto che il flesso sia per forza verticale.
Peraltro le condizioni di flesso cambiano a seconda del contesto. Ad es. la condizione necessaria f"(x)=0 vale se la funzione è almeno derivabile due volte.
https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_flesso
Il mio post infatti non riguardava l'esempio della radice, che ritengo corretto, ma il fatto che se la derivata prima non esiste e la funzione cambia di concavità non è detto che il flesso sia per forza verticale.
Peraltro le condizioni di flesso cambiano a seconda del contesto. Ad es. la condizione necessaria f"(x)=0 vale se la funzione è almeno derivabile due volte.
https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_flesso
"ingres":
Peraltro le condizioni di flesso cambiano a seconda del contesto. Ad es. la condizione necessaria f"(x)=0 vale se la funzione è almeno derivabile due volte.
https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_di_flesso
... che è diverso da ciò che dice il link postato da ghira (che peraltro a me sembra contraddirsi in quanto dice " A necessary condition for $x$ to be an inflection point is $f^('')(x)=0$. A sufficient condition requires $f^('')(x+epsilon)$ and $f^('')(x-epsilon)$ to have opposite signs in the neighborhood of x ")
Mah ...
E' come per i max e min relativi. Se la funzione è derivabile la condizione $f'(x_0) =0$ è una condizione necessaria per avere un estremo in $x_0$, ma se non è derivabile nel punto in questione si definisce che è di estremo in base al comportamento nei punti vicini, guardando crescenza e decrescenza ovvero il segno della derivata prima nell'intorno dello stesso.
L'esempio più semplice in questo caso è proprio $f(x)=abs(x)$ per x=0.
L'esempio più semplice in questo caso è proprio $f(x)=abs(x)$ per x=0.
Ma in quel link ciò non è precisato, chi legge così com'è scritto vede una contraddizione ...
Alex, concordo pienamente con te che non è spiegato molto bene 
Ecco perché voglio guardare su Spivak o altro.
"axpgn":
Ok ma quello che volevo dire è che la radice terza di $x$ è definita in zero, è continua e in zero CAMBIA concavità, aggiungici pure che in quel punto la pendenza è verticale e in conclusione come lo vuoi chiamare quel punto?
Negli appunti della studentessa che ho visionato quindi è corretto definire che: " dove la derivata prima non esiste" e "vi è un cambio di concavità" identificato dal cambio di segno nella derivata seconda siamo in presenza di un flesso verticale
"ghira":
Risultato di cosa?
Parlami di $y=|\frac{1}{x}|$. Per $x\ne 0$.
Rieccomi. Allora funzione pari, simmetrica rispetto all'asse y.
funzione prima crescente e poi decrescente.
Siamo in presenza di un punto angoloso dove la derivata sinistra e la destra non coincidono, abbiamo quindi due coefficienti angolari diversi. Quindi nel punto $x_0=0$ è non derivabile.
Funzione continua tranne in $x_0=0$
"Marco1005":
[quote="axpgn"]Ok ma quello che volevo dire è che la radice terza di $x$ è definita in zero, è continua e in zero CAMBIA concavità, aggiungici pure che in quel punto la pendenza è verticale e in conclusione come lo vuoi chiamare quel punto?
Negli appunti della studentessa che ho visionato quindi è corretto definire che: " dove la derivata prima non esiste" e "vi è un cambio di concavità" identificato dal cambio di segno nella derivata seconda siamo in presenza di un flesso verticale[/quote]
Non ho trovato la mia copia di Spivak.
Se la concavità cambia, $f$ è continua, ma $f$ ha uno spigolo, mica diciamo che il flesso è verticale?
Tipo $x^3+x$ per $x\le0$, $x^3+2x$ per $x>0$. Diciamo che $x=0$ è un punto di flesso?
"ghira":
Non ho trovato la mia copia di Spivak.
Se la concavità cambia, $f$ è continua, ma $f$ ha uno spigolo, mica diciamo che il flesso è verticale?
Tipo $x^3+x$ per $x\le0$, $x^3+2x$ per $x>0$. Diciamo che $x=0$ è un punto di flesso?
Non è un buon esempio, $x=0$ non appartiene al dominio della funzione, almeno come lo hai definito.
Beh, sì $x^3+x$ per $x<=0$
Comunque perché ci sia un flesso verticale la pendenza deve essere "infinita" quindi occorre anche questa "clausola" (ed infinita da entrambi i lati e di segno diverso)
Comunque perché ci sia un flesso verticale la pendenza deve essere "infinita" quindi occorre anche questa "clausola" (ed infinita da entrambi i lati e di segno diverso)
"@melia":
[quote="ghira"]
Tipo $x^3+x$ per $x\le0$, $x^3+2x$ per $x>0$. Diciamo che $x=0$ è un punto di flesso?
Non è un buon esempio, $x=0$ non appartiene al dominio della funzione, almeno come lo hai definito.[/quote]
No? Non sto capendo più niente, allora. Come mai 0 non appartiene al dominio della funzione, come l'ho definito?
"axpgn":
Comunque perché ci sia un flesso verticale la pendenza deve essere "infinita" quindi occorre anche questa "clausola" (ed infinita da entrambi i lati e di segno diverso)
Ma questo non vale per la radice cubica. Mi sento decisamente perso.
Come no? Sul segno diverso ho fatto casino, è vero, ma il senso è che per il flesso verticale ci deve essere una pendenza "infinita"
"axpgn":
Come no? Sul segno diverso ho fatto casino, è vero, ma il senso è che per il flesso verticale ci deve essere una pendenza "infinita"
Questo sì. Ma sto cercando di capire la definizione fornita da Marco. La non-esistenza di $f^{\prime}$ non sembra abbastanza per avere il flesso verticale.
Per "non esistenza" intendi escludere anche pendenza "infinita"?
"axpgn":
Per "non esistenza" intendi escludere anche pendenza "infinita"?
Chiedilo a Marco e/o la sua studentessa: "Negli appunti della studentessa che ho visionato quindi è corretto definire che: " dove la derivata prima non esiste" e "vi è un cambio di concavità" identificato dal cambio di segno nella derivata seconda siamo in presenza di un flesso verticale"
Nel mio esempio abbiamo un flesso verticale? Non direi.
"ghira":
[quote="@melia"][quote="ghira"]
Tipo $x^3+x$ per $x\le0$, $x^3+2x$ per $x>0$. Diciamo che $x=0$ è un punto di flesso?
Non è un buon esempio, $x=0$ non appartiene al dominio della funzione, almeno come lo hai definito.[/quote]
No? Non sto capendo più niente, allora. Come mai 0 non appartiene al dominio della funzione, come l'ho definito?[/quote]
Scusami, ho letto di corsa solo $x>0$, chiedo perdono
Rieccomi, non mi sono dimenticato eh.
Se riprendo la funzione $y=root(3)(x)$ e ne calcolo la derivata prima ottengo $1/3x^(-2/3)$
quindi riscrivendo il tutto ottengo $1/3*1/(root(3)(x^2))$
in $x=0$ la derivata prima non esiste "secondo gli appunti della studentessa"
per $x<0$ la derivata prima è positiva
per $x>0$ la derivata prima è positiva.
quindi dove la derivata prima non può esistere c'è un flesso a tangente verticale.
Nella mia ignoranza l'ho capita così
Se riprendo la funzione $y=root(3)(x)$ e ne calcolo la derivata prima ottengo $1/3x^(-2/3)$
quindi riscrivendo il tutto ottengo $1/3*1/(root(3)(x^2))$
in $x=0$ la derivata prima non esiste "secondo gli appunti della studentessa"
per $x<0$ la derivata prima è positiva
per $x>0$ la derivata prima è positiva.
quindi dove la derivata prima non può esistere c'è un flesso a tangente verticale.
Nella mia ignoranza l'ho capita così
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