Dubbio espressione goniometrica
Perché questa espressione:$y=-sin2x - cos2x +3$ è uguale a $y=-sqrt(2) sin (2x + pi/4) + 3$ anziché a $sqrt(2)sin(2x + pi/4) + 3$?
Se $r= sqrt (a^2 + b^2)$, non dovrebbe essere sempre positivo?
L'espressione $-sin2x -cos2x +3$ è rappresentata da una del tipo $asinx +bcosx + c$; io ho voluto trasformarla in una del tipo $rsin(x + alpha) + c$
Se $r= sqrt (a^2 + b^2)$, non dovrebbe essere sempre positivo?
L'espressione $-sin2x -cos2x +3$ è rappresentata da una del tipo $asinx +bcosx + c$; io ho voluto trasformarla in una del tipo $rsin(x + alpha) + c$
Risposte
No. Non puoi imparare a memoria il metodo dell'angolo aggiunto. Altrimenti avrai sempre problemi (poi te lo ritrovi con i numeri complessi etc etc).
Data la funzione $y=a*sen(t)+b*cos(t)$
Si può riscrivere come $y=r*sen(t+\alpha)$
l'ampiezza della funzione è, come hai scritto tu, $r=sqrt(a^2+b^2)$, mentre l'angolo aggiunto è $alpha=arctg(b/a)$
Però occorre tenere conto dei segni con cui hai a che fare. Se $a<0$ devi aggiungere $+pi$ all'angolo $\alpha$ (supponendo che la funzione arcotangente abbia come immagine $[-pi/2,pi/2]$.
Nel tuo caso hai:
$ y=-sin2x - cos2x=sqrt(2)(-1/sqrt(2) *sen(2x)-1/sqrt(2)*cos(2x))=$
$sqrt(2)*[cos(pi/4+pi)*sen(2x)-sen(pi/4+pi)*cos(2x)]=$
$sqrt(2)*[sen(2x+pi/4+pi)]$
Per gli archi associati
$=-sqrt(2)*sen(2x+pi/4)$
Spero tu abbia capito perché è forse la cosa più importante della goniometria.
Data la funzione $y=a*sen(t)+b*cos(t)$
Si può riscrivere come $y=r*sen(t+\alpha)$
l'ampiezza della funzione è, come hai scritto tu, $r=sqrt(a^2+b^2)$, mentre l'angolo aggiunto è $alpha=arctg(b/a)$
Però occorre tenere conto dei segni con cui hai a che fare. Se $a<0$ devi aggiungere $+pi$ all'angolo $\alpha$ (supponendo che la funzione arcotangente abbia come immagine $[-pi/2,pi/2]$.
Nel tuo caso hai:
$ y=-sin2x - cos2x=sqrt(2)(-1/sqrt(2) *sen(2x)-1/sqrt(2)*cos(2x))=$
$sqrt(2)*[cos(pi/4+pi)*sen(2x)-sen(pi/4+pi)*cos(2x)]=$
$sqrt(2)*[sen(2x+pi/4+pi)]$
Per gli archi associati
$=-sqrt(2)*sen(2x+pi/4)$
Spero tu abbia capito perché è forse la cosa più importante della goniometria.
Tre questioni:
1) Non dovrebbe essere $-sin2x -cos2x= sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)]$?
2) Non riesco a capire il passaggio da $sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)]$ a $sqrt(2)[sin(2x+ pi/4 + pi)]$, mi mostreresti i passaggi?
3) Non riesco a capire perché se $a<0$ devo aggiungere $pi$ all'angolo $alpha$. Ok, forse questo punto l'ho capito: dato che $tan(alpha) = b/a$, il seno e il coseno di $alpha$ sono negativi, perciò ci troviamo nel terzo quadrante anziché nel primo; quindi si aggiunge $pi$. è corretto?
Però, pensandoci bene, se $alpha$ è compreso fra $-pi/2$ e $pi/2$ il suo coseno non può mai essere negativo, no? E allora non riesco a capire come si concilia col fatto che $tan(alpha)= b/a$: $a$ non dovrebbe rappresentare $cos(alpha)$? Forse si aggiunge $pi$ proprio per 'far ricadere' l'angolo fra $-pi/2$ e $pi/2$?
1) Non dovrebbe essere $-sin2x -cos2x= sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)]$?
2) Non riesco a capire il passaggio da $sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)]$ a $sqrt(2)[sin(2x+ pi/4 + pi)]$, mi mostreresti i passaggi?
3) Non riesco a capire perché se $a<0$ devo aggiungere $pi$ all'angolo $alpha$. Ok, forse questo punto l'ho capito: dato che $tan(alpha) = b/a$, il seno e il coseno di $alpha$ sono negativi, perciò ci troviamo nel terzo quadrante anziché nel primo; quindi si aggiunge $pi$. è corretto?
Però, pensandoci bene, se $alpha$ è compreso fra $-pi/2$ e $pi/2$ il suo coseno non può mai essere negativo, no? E allora non riesco a capire come si concilia col fatto che $tan(alpha)= b/a$: $a$ non dovrebbe rappresentare $cos(alpha)$? Forse si aggiunge $pi$ proprio per 'far ricadere' l'angolo fra $-pi/2$ e $pi/2$?
1) Si scusa ho scritto meno al posto di più.
2)Il passaggio in questione è la formula di addizione:
$ sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)] = sqrt(2)[sin(2x+ pi/4 + pi)] $
Se poni $pi/4+pi=\alpha$ e $2x=\beta$ la puoi riscrivere così:
$sqrt(2)*[cos(\alpha)*sen(\beta)+sen(\alpha)*cos(\beta)]=sqrt(2)[sen(\beta+\alpha)]$
3) Esatto. Il paradigma "$a$ negativo, aggiungo pigreco" è più utile per fare gli esercizi a papera. Vedi che $a$ è negativo e sai che l'angolo aggiunto è $arctg(b/a)+pi$ direttamente senza pensare. Altrimenti ragioni... sai che il (coefficiente del) coseno ti da il (segno del)seno, mentre il (coefficiente del) seno ti da il (segno del) coseno. Poi ragioni con i quadranti... se il coseno è positivo e il seno anche è positivo siamo nel primo quadrante e quindi l'arcotangente mi da direttamente l'angolo che cercavo, altrimenti mi immagino i quadranti e colloco l'angolo nel posto giusto a seconda del caso.
2)Il passaggio in questione è la formula di addizione:
$ sqrt(2) [cos(pi/4 + pi) * sin2x + sin(pi/4 + pi) * cos(2x)] = sqrt(2)[sin(2x+ pi/4 + pi)] $
Se poni $pi/4+pi=\alpha$ e $2x=\beta$ la puoi riscrivere così:
$sqrt(2)*[cos(\alpha)*sen(\beta)+sen(\alpha)*cos(\beta)]=sqrt(2)[sen(\beta+\alpha)]$
3) Esatto. Il paradigma "$a$ negativo, aggiungo pigreco" è più utile per fare gli esercizi a papera. Vedi che $a$ è negativo e sai che l'angolo aggiunto è $arctg(b/a)+pi$ direttamente senza pensare. Altrimenti ragioni... sai che il (coefficiente del) coseno ti da il (segno del)seno, mentre il (coefficiente del) seno ti da il (segno del) coseno. Poi ragioni con i quadranti... se il coseno è positivo e il seno anche è positivo siamo nel primo quadrante e quindi l'arcotangente mi da direttamente l'angolo che cercavo, altrimenti mi immagino i quadranti e colloco l'angolo nel posto giusto a seconda del caso.
Ok, ho capito. Il concetto è abbastanza semplice, dovevo soltanto focalizzarmici su.
Grazie mille!
Grazie mille!
No allora a seguito della tua modifica al terzo punto vorrei integrare la mia risposta.
Prendi la circonferenza goniometrica e annessi quadranti I, II, III, IV.
Prendi la funzione
$y=asen(x)+bcos(x)=sqrt(a^2+b^2)*sen(x+\alpha)$
$a$ ti da il segno del coseno.
$b$ ti da il segno del seno.
Caso (1) se $a>0$ e $b>0$ allora $\alpha$ è nel primo quadrante, $arctan(b/a)$ sta, incidentalmente, sempre nel primo quadrante
e quindi non ci sono problemi. L'angolo aggiunto è appunto, semplicemente, $\alpha=arctan(b/a)$.
Caso (2) se $a>0$ e $b<0$ allora $\alpha$ è nel quarto quadrante, $arctan(b/a)$ sta nel quarto quadrante come l'angolo $\alpha$ e quindi l'angolo aggiunto è ancora $\alpha=arctan(b/a)$.
Caso (3) se $a<0$ e invece, quando $b<0$ allora $\alpha$ appartiene al quarto quadrante, ma l'arcotangente ce lo metterebbe nel primo (quadrante), sta a noi aggiungere $pi$ e riportarci nel quarto. Analogo ragionamento se $a<0$ e $b>0$.
Ciao!
Prendi la circonferenza goniometrica e annessi quadranti I, II, III, IV.
Prendi la funzione
$y=asen(x)+bcos(x)=sqrt(a^2+b^2)*sen(x+\alpha)$
$a$ ti da il segno del coseno.
$b$ ti da il segno del seno.
Caso (1) se $a>0$ e $b>0$ allora $\alpha$ è nel primo quadrante, $arctan(b/a)$ sta, incidentalmente, sempre nel primo quadrante
e quindi non ci sono problemi. L'angolo aggiunto è appunto, semplicemente, $\alpha=arctan(b/a)$.
Caso (2) se $a>0$ e $b<0$ allora $\alpha$ è nel quarto quadrante, $arctan(b/a)$ sta nel quarto quadrante come l'angolo $\alpha$ e quindi l'angolo aggiunto è ancora $\alpha=arctan(b/a)$.
Caso (3) se $a<0$ e invece, quando $b<0$ allora $\alpha$ appartiene al quarto quadrante, ma l'arcotangente ce lo metterebbe nel primo (quadrante), sta a noi aggiungere $pi$ e riportarci nel quarto. Analogo ragionamento se $a<0$ e $b>0$.
Ciao!
Ovviamente al caso 3), cioè se $a<0$ e $b<0$ ,volevi dire che $alpha$ appartiene al terzo quadrante vero? Sono già abbastanza confuso di mio! 
Comunque ora dovrei davvero aver capito (sempre se la mia correzione sia corretta...
)
Comunque ora dovrei davvero aver capito (sempre se la mia correzione sia corretta...
)
Si si. Mi sono un momento confuso con i quadranti e le lettere.
Perfetto. Grazie ancora, poteva essere insidiosa come cosa.
Si, in effetti.
Comunque basta che ti fai due esercizietti tipo quello che hai mandato e al terzo ti è tutto chiaro.
Comunque basta che ti fai due esercizietti tipo quello che hai mandato e al terzo ti è tutto chiaro.
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