Dubbio equazione parametrica di secondo grado
Salve a tutti. Se in questo esercizio $(k + 1)x^2+(2k+3)x+k=0$ chiede di calcolare il valore di $k$ affinchè l'equazione ammetta due soluzioni reali e distinte le condizioni da porre sono due? $(2k+3)^2-4k(k+1)>0$ e $k+1!=0$ oppure solo la prima condizione?
Risposte
Quante soluzioni possiede l'equazione \( ax+b=0 \) ? con \( a ,b, \in \mathbb{R} \) e \( a \neq 0 \) fissati?
Lo sa, chiedeva conferma.
@anonymous_c5d2a1 insegna (o fa ripetizioni) e spesso ha dei dubbi su ciò che propongono i libri di testo.
@anonymous_c5d2a1 insegna (o fa ripetizioni) e spesso ha dei dubbi su ciò che propongono i libri di testo.
Eh... questo non lo sapevo io. Confermo che servono entrambe le condizioni.
Effettivamente su diversi libri di testo pone una sola condizione. Eppure non includendo la seconda per $k=-1$ si ottiene una equazione di primo grado che ammette una soluzione. Anche quando frequentavo il Tecnico Commerciale un prof. di matematica sorvolava su quella condizione. Io ero in forte disaccordo.
"anonymous_c5d2a1":
... Io ero in forte disaccordo.
Perché tu sei precisino
... e 3m0o è pure peggio 
Nel momento stesso che richiedi che possiede due soluzioni (distinte o non) dovresti porre la condizione \(k+1 \neq 0 \). Perché fondamentalmente stai chiedendo due soluzioni distinte (con molteplicità algebrica ciascuna uguale a 1) oppure due soluzioni uguali (con molteplicità algebrica uguale a 2). Questo è possibile solo se \( (k+1) \neq 0 \).
"axpgn":
Perché tu sei precisino
Giustappunto
Comunque, volendo fare l'avvocato del diavolo, la condizione $k+1!=0$ è data per scontata perché quando si definisce un'equazione di secondo grado generica $ax^2+bx+c=0$ si afferma sempre (l'ho sempre visto fare su tutti i libri di testo) che dev'essere $a!=0$.
Quindi poi non lo si ripete più ...
Cordialmente, Alex
Quindi poi non lo si ripete più ...
Cordialmente, Alex
Sì, ma la differenza qui è che quando tu affermi di avere un equazione di secondo grado \( ax^2+bx+c \) allora \(a,b,c \) sono supposti fissati in \( \mathbb{R} \), ed \(a\) è sottointeso essere \(a \neq 0 \). Per contro quando \(k \) è un parametro a priori può assumere qualsiasi valore reale (o ovunque esso si trova). In un caso specifico se domandi \( \Delta > 0 \) potrebbe contenere valori per cui il coefficiente di \(x^2\) si annulla.
Ad esempio:
\[ (k-1) x^2 + 2k x + (k-1) = 0 \]
abbiamo che \( \Delta > 0 \) se \( k > 1/2 \), che include la possibilità che \( k =1 \).
Ad esempio:
\[ (k-1) x^2 + 2k x + (k-1) = 0 \]
abbiamo che \( \Delta > 0 \) se \( k > 1/2 \), che include la possibilità che \( k =1 \).
Questo non sposta niente di quanto ho detto: che $a$ sia fisso o "parametrizzato" non cambia il fatto che debba essere diverso da zero perché sia di secondo grado e questo "fatto" viene evidenziato nelle prime righe di qualsiasi libro di testo ... che poi lo studente "medio" se ne dimentichi non è colpa di chi scrive gli esercizi
Perfetto grazie ad entrambi. Molto gentili.
Se nel testo non viene specificato che si tratta di un'equazione di secondo grado allora non puoi assumere che \( a \neq 0 \). E vinci non ha specificato di che grado sia quell'equazione.
Indipendentemente da tutto:
Nel mio esempio
Se tu vuoi che la tua equazione possieda due soluzioni reali.
La risposta \( k \geq 1/2 \) è errata.
La risposta \(k \geq 1/2 \) ma \( k \neq 1 \) è corretta.
Se in più domandi che queste soluzioni siano distinte allora
La risposta \( k > 1/2 \) è errata
La risposta \( k > 1/2 \) con \( k \neq 1 \) è corretta.
Edit:
indipendentemente se prendi la condizione \( a \neq 0 \) necessaria o avuta per definizione.
Indipendentemente da tutto:
Nel mio esempio
Se tu vuoi che la tua equazione possieda due soluzioni reali.
La risposta \( k \geq 1/2 \) è errata.
La risposta \(k \geq 1/2 \) ma \( k \neq 1 \) è corretta.
Se in più domandi che queste soluzioni siano distinte allora
La risposta \( k > 1/2 \) è errata
La risposta \( k > 1/2 \) con \( k \neq 1 \) è corretta.
Edit:
indipendentemente se prendi la condizione \( a \neq 0 \) necessaria o avuta per definizione.
Dai, è implicito in quello che ha scritto nel primo post, sia l'equazione che la richiesta di avere due soluzioni reali e distinte
Ehh... no! Perché \( k \) è un parametro! Se non fosse un parametro sarei d'accordo con te, lo ammetto! Però il fatto che \(k \) sia un parametro reale permette all'equazione
\[ (k+1)x^2+(2k+3)x+k=0 \]
di essere un'equazione di primo grado. Siccome se prendi \(k=1 \), valore permesso poiché è un parametro reale di avere
\[ 5x+1=0 \]
Edit:
Se la domanda fosse stata, per quali valori del parametro reale \(k\), l'equazione
\[ (a+1)x^2+(2k+3)x+k = 0 \]
possiede due soluzioni reali e distinte, dove \(a \) è fissato.
Allora sarei d'accordo con te che è implicito che \(a+1 \neq 0 \) essendo fissato.
\[ (k+1)x^2+(2k+3)x+k=0 \]
di essere un'equazione di primo grado. Siccome se prendi \(k=1 \), valore permesso poiché è un parametro reale di avere
\[ 5x+1=0 \]
Edit:
Se la domanda fosse stata, per quali valori del parametro reale \(k\), l'equazione
\[ (a+1)x^2+(2k+3)x+k = 0 \]
possiede due soluzioni reali e distinte, dove \(a \) è fissato.
Allora sarei d'accordo con te che è implicito che \(a+1 \neq 0 \) essendo fissato.
Ma, primariamente, noi non sappiamo quale sia la forma/il testo/la richiesta originale che @anonymous_c5d2a1 ha riassunto; potrebbe essere completa come da te richiesto.
Secondariamente, è chiaro nel post di apertura quale sia la perplessità di @anonymous_c5d2a1, che è chiaramente riferita ad un'equazione di secondo grado.
Non sei d'accordo?
Secondariamente, è chiaro nel post di apertura quale sia la perplessità di @anonymous_c5d2a1, che è chiaramente riferita ad un'equazione di secondo grado.
Non sei d'accordo?
Sì, sono d'accordo. Ma tant'è non ho molto da fare (sai... mi è difficile guardare le lezioni in questo periodo 
) e mi piaceva portare avanti una discussione tanto per...scusami
E in tutto questo, mi stavo domandando se non si possa ottenere in realtà l'informazione che \( k+1 \neq 0 \) già da \( \Delta > 0 \).
) e mi piaceva portare avanti una discussione tanto per...scusami E in tutto questo, mi stavo domandando se non si possa ottenere in realtà l'informazione che \( k+1 \neq 0 \) già da \( \Delta > 0 \).
"3m0o":
E in tutto questo, mi stavo domandando se non si possa ottenere in realtà l'informazione che \( k+1 \neq 0 \) già da \( \Delta > 0 \).
No, è la prima cosa che ho verificato (non sono stupido del tutto
), inoltre "conosco" @anonymous_c5d2a1 da un po' e son sicuro che la verifica l'ha fatta anche lui (in caso contrario non avrebbe postato )[ot]Progressi?[/ot]
Cordialmente, Alex
"axpgn":
No, è la prima cosa che ho verificato (non sono stupido del tutto
Io invece un po' stupido lo sono
[ot]Sni... ho spammato il servizio tecnico
sperando che domattina abbia una risposta 
[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo