Dubbio equazione goniometrica?

[Sk_Anonymous]

Buon giorno a tutti. Ho risolto un equazione e mi risulta:
$ sin^2(x) = 1/2 $
$ sin(x) = ±1/sqrt(2) $

Trovo come soluzioni:
$ x = ±π/4 + 2kπ $

Ma il libro da questo risultato:
$ x = π/4 + kπ/2 $

E' lo stesso? Se si come si passa dalla prima alla seconda? Grazie.

[minomic]

Ciao,
no non è lo stesso perchè la tua soluzione descrive due angoli per ogni giro di circonferenza mentre la soluzione del libro (giusta) ne descrive quattro.
Ricora che $$
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi...
$$ Cioè per ogni valore del seno hai una doppia soluzione.

[Sk_Anonymous]

Ok grazie... vediamo se ho capito. Le 4 soluzioni sono:

$ x1 = π/4 + 2kπ $

$ x2 = π - π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ $

$ x3 = -π/4 + 2kπ $

$ x4 = π - (-π/4) + 2kπ = 5π/4 + 2kπ $

Potresti per piacere, anche spiegarmi, come si unificano nella soluzione:

$ x = π/4 + kπ/2 $

Grazie

[minomic]

Le soluzioni adesso sono giuste.
Diciamo che si unificano "a occhio" notanto che tra un angolo-soluzione e il successivo c'è sempre uno spazio di $pi/2$. Quindi puoi prendere l'angolo $pi/4$ e da lì "saltare" in avanti o all'indietro di $pi/2$ per toccare tutte le altre soluzioni.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie

[minomic]

Prego!