Dubbio disequazioni

[euclidempc]

Salve, ho un dubbio su queste due disequazioni

$(x^2+3)(x^2-2x+8)<0$

esamino i due membri separatamente

1) $x^2+3>0$ => $x^2>0$ impossibile
2) $x^2-2x+8>0$ ogni valore di x

e dunque intersezionando viene impossibile

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l'altra...

$(x^2+1)(3x^2+8x-3)>= 0$

1) $x^2+1>0$ impossibile
2) $3x^2+8x-3>0$ => x<=-3 o x >= 1/3

intersezionando viene impossibile anche questa


il libro dice che la prima è impossibile e la seconda è x<=-3 o x >= 1/3
perchè?

[adaBTTLS1]

scusami, ma concettualmente che differenza c'è tra un binomio di secondo grado come $x^2+1$ o $x^2+3$ ed un trinomio come $x^2-2x+8$, tutti con discriminante negativo? perché scrivi $x^2+1>0$ impossibile? o addirittura $x^2+3>0 => x^2>0$ impossibile?, [a parte l'errore di far sparire il 3]...

[@melia]

Chiariamo un po' di errori/imprecisioni:
Per risolvere la disequazione $(x^2+3)(x^2-2x+8)<0$ si devono studiare i segni dei fattori

1) segno del primo fattore $x^2+3>0$ => $x^2>-3$ sempre verificato, ovvero il primo fattore è sempre positivo
2) segno del secondo fattore $x^2-2x+8>0$ ogni valore di x, anche il secondo fattore è sempre positivo
il prodotto tra due fattori positivi è sempre positivo, la disequazione chiede quando è negatio e la risposta è mai, quindi la soluzione è impossibile



Per risolvere la disequazione $(x^2+1)(3x^2+8x-3)>= 0$

1) segno del primo fattore $x^2+1>0$ sempre positivo
2) segno del secondo fattore $3x^2+8x-3>0$ => il fattore è positivo per $x<=-3 v x >= 1/3$

il segno del prodotto coincide con il segno del secondo fattore in quanto il primo è sempre positivo e non cambia il segno del risultato, quindi la disequazione è verificata per $x<=-3 v x >= 1/3$

[euclidempc]

pardon, ora ho capito... mi impallavo quando trovavo x^2 > di un numero negativo... un quadrato è sempre maggiore di un numero negativo, e dunque è sempre verificata non è impossibile... giusto?

altro dubbio

$(x^2-4x+4)(-x^2+10x)>0$

1) $x^2-4x+4>0$ sempre positivo tranne che in x=2
2) $-x^2+10x>0$ fattorizzo e diventa $x(x+10)<0$ che a sua volta diventa l'intersezione tra x>0 e x>10 ( qui prendo i valori interni perchè $x(x+10)<0$ giusto?? )

sommando tutto viene 0 giusto??


grazie mille per le risposte precedenti e grazie in anticipo per queste

[adaBTTLS1]

prego.
sì, x(x-10)<0, è giusto tra 0 e 10, non si dice "intersezione tra x>0 e x>10" (che sarebbe invece x>10)...
i calcoli ed il risultato sono esatti.
ciao.

[euclidempc]

ancora dubbio...

$x^2(x^2-4x-21)<=0$

1) x>0
2) $x^2-4x-21>0$ => x<-3 o x>7

verrebbe x<-3 o 0

Cita

Segnala

[adaBTTLS1]

1) non è x>0: è di secodo grado... è sempre positiva tranne in zero dove è zero, non è mai negativa...
se è compreso l'=, la soluzione dovrebbe essere $-3<=x<=7$, che comprende anche lo zero.

[euclidempc]

se fosse stato x^3 all'inizio invece come avrei dovuto fare?

[mantonietta]

x^2>=0 è soddisfatta per ogni valore di x
x^2-4x-21>=0 segue x<= -3 o x>= 7

Facendo la regola dei segni e consirando i tratti negativi otterrai -3<=x<=7

[adaBTTLS1]

x^3, o qualunque monomio di grado dispari, ai fini della disequazione è come se fosse solo x,
qualunque monomio di grado pari è come se fosse x^2.

considera che $x^3=x*x^2$, un termine mai negativo ed uno che ha lo stesso segno di x...

spero sia chiaro. ciao.

[euclidempc]

mmm ad occhio credo di aver capito, ma puoi cortesemente dirmi di più in merito a queste due situazioni?

perchè x^2 > è positiva ovunque tranne in 0 ?

[adaBTTLS1]

non capisco questo dubbio: x^2 è un quadrato, è quindi positivo per ogni numero reale, tranne per 0 perché vale zero (0*0=0) non perché può essere negativo. qualsiasi altro numero, elevato al quadrato, non è positivo? (-2)^2=+4,...
prova a risolvere alcune disequazioni binomie:
$x^3-2x^2>0$
$x^4+x^2<0$
$x^4+x>=0$
$2x^5-3x^3<=0$
$x^6-x^2>=0$
$x^7-x^2<=0$

ciao.

[euclidempc]

rieccomi, sto per fare le disequazioni che mi hai suggerito, ma prima vorrei capire bene una cosa...

$x^2 > 0$ vera per ogni x reale tranne in 0
$x^2 >= 0$ vera per ogni x reale
$x^2 < 0$ impossibile
$x^3 > 0$ vera per ogni x > 0 ( è giusta? si scrive così? )
$x^3 >= 0$ x>=0
$x^3 < 0$ vera per ogni x < 0

ho capito bene?

[adaBTTLS1]

sì, benissimo.

[euclidempc]

e ho scritto bene i risultati? oppure van scritti in altro modo per essere corretti?

allora, ho fatto le prime, vediamo se fin qui ci sono...

$x^3-2x^2>0$ scompongo e diventa $x^2(x-2)>0$ studio separatamente e viene
1) $x^2>0$ quindi per ogni x reale tranne 0
2) $x-2>0$ quindi x>2
studio i segni e viene x>2

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$x^4+x^2<0$ scompongo e diventa $x^2(x^2+1)<0$ studio separatamente e viene
1)$x^2>0$ quindi per ogni x reale tranne 0
2)$x^2+1>0$ quindi x^2>-1 ovvero impossibile
studio i segni e viene ogni x reale tranne 0

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$x^4+x>=0$ scompongo e diventa $x(x^3+1)<0$ studio separatamente e viene
1)$x>0$
2)$x^3+1>0$ quindi x^3>-1 ovvero ogni x >= 0
studio i segni e viene x >= 0

van bene queste 3 ??

p.s. adabttls sei davvero gentilissima... non sai quanto mi stai aiutando, ti sono debitore. Grazie infinite

[adaBTTLS1]

prego!
però, purtoppo, di queste va bene solo la prima.
nella seconda hai ripetuto un vecchio errore...
nella terza, a parte il >= che è diventato < non si capisce perché, come fai ad affermare che da x^3 > -1 segue x>=0 ?

[euclidempc]

mmm allora

$x^4+x2<0$ scompongo e diventa $x^2(x2+1)<0$ studio separatamente e viene
1)$x^2>0$ quindi per ogni x reale tranne 0
2)$x^2+1>0$ quindi x^2>-1 ovvero impossibile
fin qui mi pare giusta, studio i segni
la prima è verificata sempre tranne in x=0
la seconda non è mai verificata
poichè cerco soluzioni negative, è sempre vera, tranne in zero...

almeno questo è il ragionamento che faccio... dove sbaglio??
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$x^4+x≥0$ scompongo e diventa $x(x^3+1)>0$ studio separatamente e viene
1)x>0
2)$x^3+1>0$ quindi $x^3>-1$ poichè una potenza dispari è negativa per basi negative, altrimenti è positiva, considero vera la dis, per x>=0

dove sbaglio?

[adaBTTLS1]

$x^2+1>0$ è vera sempre (non è impossibile...)
$x^3+1>0$ è vera per x> -1 (non per x>0 ...

[euclidempc]

mmm $x^2+1>0$ poi diventa $x^2>-1$ giusto? e un quadrato non è mai negativo... perchè è vera sempre?

la seconda ho capito... nn avevo considerato i possibili valori irrazionali

[adaBTTLS1]

appunto, perché non è mai negativo, quindi a maggior ragione è maggiore di un numero negativo (-1). e comunque non serve passare -1 al secondo membro: se x^2 è >=0, x^2+1>=1, quindi sempre >0

per l'altra... -1 non è mica un valore irrazionale...
in alternativa puoi scomporre $(x^3+1)=(x+1)*(x^2-x+1)$. il primo fattore è positivo per x>-1, il secondo sempre (discriminante negativo).

[euclidempc]

quindi se ho ben capito

$x^4+x^2<0$ scompongo e diventa $x^2(x^2+1)<0$ studio separatamente e viene
1)$x^2>0$ quindi per ogni x reale tranne 0
2)$x^2+1>0$ quindi per ogni x reale

e poichè mi servono i valori discordi, la soluzione è x=0
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$x^4+x≥0$ scompongo e diventa $x(x^3+1)>0$ studio separatamente e viene
1)x>0
2)$x^3+1>0$ quindi x^3>-1 ovvero x > -1
studiando il segno prendo i valori positivi e quindi è x<-1 o x>0

corrette?
dov'è che sbaglio secondo te? cosa dovrei rivedere a livello teorico? è possibile che questi miei errori derivino da lacune sui radicali?