Dubbi sulle operazioni

[siddy98]

Non sapevo se mettere il post in secondaria di primo grado o qui... ma considerando che faccio le superiori
Alle medie mi hanno insegnato come si moltiplicano e si dividono le frazioni tra loro, però non ne ho mai letto (e al tempo non mi interessava) una dimostrazione. Ho provato a spulciare un po' su Internet ma nulla. Voi le conoscete? Dite che dovrei capirle da solo? Forse ho un po' di confusione in testa riguardo alle 4 operazioni in generale...
Grazie mille come al solito

[giammaria2]

La dimostrazione che chiedi viene di solito data dopo aver introdotto le frazioni in modo abbastanza diverso da quello intuitivo usato nelle medie. Per adeguarmi al concetto elementare, te ne do una dimostrazione molto alla buona, basata sulle fette di torta; invoco l'indulgenza dei veri matematici.
Se dico che ho i $3/7$ di una torta, intendo che ci sono delle fette, ognuna delle quali è $1/7$ di torta, e che ne ho prese $3$; se necessario, penso a due o più torte identiche ed allora posso anche prendere $9$ fette, avendo in tutto i $9/7$ di torta.
Supponiamo ora di voler raddoppiare i miei $3/7$: prendo il doppio di fette, cioè $3*2=6$ ed in totale ho $3/7*2/1=6/7$. Il ragionamento non cambia se anziché raddoppiare io avessi voluto moltiplicare per un altro numero e ne concludo che per moltiplicare una frazione per un numero intero si moltiplica il numeratore per quel numero.
Supponiamo invece di voler dividere i miei $3/7$ fra $5$ persone: dividiamo ogni fetta in $5$ parti uguali, ottenendo delle fettine che sono $1/35$ di torta ed ognuno prenderà $3$ di quelle fettine e quindi ne avrà i $3/7*1/5=3/35$. Al posto di $5$ poteva esserci un altro numero, quindi per dividere una frazione per un numero intero si moltiplica il denominatore per quel numero.
Mettiamo assieme i due ragionamenti chiedendoci quanto fa $3/7*2/5$: dobbiamo moltiplicare per $2$ ottenendo $6$ a numeratore e dividere per $5$ ottenendo $35$ a denominatore; ed ecco dimostrata la regola.