Dubbi sulle derivate...

[SaturnV]

Ho avuto questo esercizio da risolvere (in realtà la traccia l'ho ricopiata quindi spero di aver capito bene il senso):
Sia
$f:]a,b[ -> R, x_0$ un punto appartenente all'intervallo di definizione, la funzione è derivabile in $x_0$ ed esiste il limite, quindi dimostrare che:
$lim_(h->0) (f(x_0 +h)-f(x_0 -h))/(2h)=f'(x_0)$
ed esibire un controesempio (cioè una funzione di cui esiste il limite, ma non è derivabile).
Qualche idea?

Fabio

[Giusepperoma2]

cosa intendi con "esiste il limite"?

che esiste il limite della funzione in x_0?

in questo caso, il controesempio classico e'

f(x)=|x|

che e' continua in x_0=0, ma non derivabile.
lo puoi dimostrre facendo il limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra. otterrai rispettivamente 1 e -1.

per quanto riguarda illimite che vuoi dimostrare, io lo farei cosi':

[i limiti sotto sono per h che tende a 0]

lim (f(x_0+h)-f(x_0-h))/2h =

= lim (f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h))/2h =

= lim1/2[(f(x_0+h)-f(x_0))/h)+(fx_0)-f(x_0-h)/h)]

= 1/2 [f'(x_0) + f'(x_0)] =

= f'(x_0)

ci sei?


per quanto riguarda