Dominio funzione composta
Salve ragazzi... come al solito avrei un problema.
Allora ho questo grafico di 2 funzioni:
Ora l'esercizio mi chiede:
a) grafico di f(g(x)=
b) dove g ed f si annullano
c il dominio di h
Per il dominio di h io ho tracciato 2 rette verticali che intersecano gli estremi delle due funzioni e per me l'intervallo in cui ci stanno entrambe allora quello è il dominio della funzione composta.
Ma non sono sicura.
Per quanto riguarda il grafico dovrei andare per punti presumo ma non so come fare.
Poi non riesco a capire come fare per sapere dove g ed f si annullano.
Qualcuno mi può fare qualche esempio per risolvere questo ed esercizi simili.
Vi ringrazio per ogni vostra eventuale risposta.
Allora ho questo grafico di 2 funzioni:
Ora l'esercizio mi chiede:
a) grafico di f(g(x)=
b) dove g ed f si annullano
c il dominio di h
Per il dominio di h io ho tracciato 2 rette verticali che intersecano gli estremi delle due funzioni e per me l'intervallo in cui ci stanno entrambe allora quello è il dominio della funzione composta.
Ma non sono sicura.
Per quanto riguarda il grafico dovrei andare per punti presumo ma non so come fare.
Poi non riesco a capire come fare per sapere dove g ed f si annullano.
Qualcuno mi può fare qualche esempio per risolvere questo ed esercizi simili.
Vi ringrazio per ogni vostra eventuale risposta.
Risposte
Ciao, purtroppo dal grafico non si capisce molto, quindi dico qualcosa in generale.
Se hai $f(g(x))$ il dominio lo calcoli "dall'interno verso l'esterno". Faccio un esempio: se per qualche motivo la $f$ è una funzione che è definita se il suo argomento è positivo allora dovrai imporre
\[
\begin{cases}
g(x) \text{ esiste} \\ g(x) > 0 \quad \text{così rispetta la condizione imposta dalla } f
\end{cases}
\] Quindi il valore assunto da una funzione diventa l'argomento dell'altra, e su questo devi imporre le condizioni necessarie.
Se hai $f(g(x))$ il dominio lo calcoli "dall'interno verso l'esterno". Faccio un esempio: se per qualche motivo la $f$ è una funzione che è definita se il suo argomento è positivo allora dovrai imporre
\[
\begin{cases}
g(x) \text{ esiste} \\ g(x) > 0 \quad \text{così rispetta la condizione imposta dalla } f
\end{cases}
\] Quindi il valore assunto da una funzione diventa l'argomento dell'altra, e su questo devi imporre le condizioni necessarie.
grazie della risposta.
Comunque l'esercizio mi da solo il grafico e non le espressioni analitiche delle 2 funzioni.
Perciò ho questa confusione.....
Comunque l'esercizio mi da solo il grafico e non le espressioni analitiche delle 2 funzioni.
Perciò ho questa confusione.....
Si, probabilmente il grafico è fatto un po' meglio... 
Comunque, tornando all'esempio che ti facevo prima, dovresti prendere i valori che fanno esistere la $g$ (cioè il dominio della $g$) e farne l'intersezione con quelle ascisse che ti danno un'ordinata ($y$) positiva. Così poi quando "passi" questa $g$ alla $f$ anche la condizione della $f$ è soddisfatta. In questo modo puoi avere un'idea "grafica" del dominio della funzione composta.
Comunque, tornando all'esempio che ti facevo prima, dovresti prendere i valori che fanno esistere la $g$ (cioè il dominio della $g$) e farne l'intersezione con quelle ascisse che ti danno un'ordinata ($y$) positiva. Così poi quando "passi" questa $g$ alla $f$ anche la condizione della $f$ è soddisfatta. In questo modo puoi avere un'idea "grafica" del dominio della funzione composta.
se avessi le espressioni analitiche di 2 funzioni per esempio:
$ f(x)=x+1 $ e $ g(x)=sqrtx $
disegnerei una retta con dom tutto R che interseca l'asse y in 1 (per la funzione f(x))
ed un ramo di parabola che parte da 0 e crescendo con concavità verso il basso va verso infinito per la funzione g(x) con dominio quindi $ [0;+oo ] $
Ora il grafico della f(x) sta in g(x) da $ [0;+oo ] $ e quindi per me il dominio della funzione composta è questo.
Però non è così perché $ h=g@ f=sqrt(x+1 $ e quindi il dominio è $ [-1;+oo ] $
Questo l'ho fatto perché avevo le espressioni analitiche delle due funzioni.
Ma se ho solo i grafici come posso fare a capire qual è il dominio della funzione composta?
E poi dove si annullano f(x) e g(x)?
$ f(x)=x+1 $ e $ g(x)=sqrtx $
disegnerei una retta con dom tutto R che interseca l'asse y in 1 (per la funzione f(x))
ed un ramo di parabola che parte da 0 e crescendo con concavità verso il basso va verso infinito per la funzione g(x) con dominio quindi $ [0;+oo ] $
Ora il grafico della f(x) sta in g(x) da $ [0;+oo ] $ e quindi per me il dominio della funzione composta è questo.
Però non è così perché $ h=g@ f=sqrt(x+1 $ e quindi il dominio è $ [-1;+oo ] $
Questo l'ho fatto perché avevo le espressioni analitiche delle due funzioni.
Ma se ho solo i grafici come posso fare a capire qual è il dominio della funzione composta?
E poi dove si annullano f(x) e g(x)?
Niente mi arrendo....
Magari sarebbe stato utile sapere quale funzione è la f e quale la g.
Per curiosità dove (su quale libro) hai trovato questi esercizi?
Per curiosità dove (su quale libro) hai trovato questi esercizi?
Allora, riprendo l'esempio che ha postato rollitata con le due espressioni. Osserviamo il seguente grafico:
La curva rossa rappresenta $g(x)$ mentre la retta blu è la $f(x)$. Vogliamo fare $g[f(x)]$, giusto? Bene. Allora guardiamo la funzione esterna, cioè la $g$. Che valori vuole? Guardo la curva rossa e vedo che è definita solo per $x >= 0$. Quindi i valori che le fornisce la $f$ dovranno essere $>=0$, giusto? Allora guardo la retta blu e mi chiedo "quando è che la funzione blu assume valori maggiori di zero?" La risposta è da $-1$ in avanti. Quindi concludo che il dominio della funzione composta è effettivamente $[-1, +oo)$.
La curva rossa rappresenta $g(x)$ mentre la retta blu è la $f(x)$. Vogliamo fare $g[f(x)]$, giusto? Bene. Allora guardiamo la funzione esterna, cioè la $g$. Che valori vuole? Guardo la curva rossa e vedo che è definita solo per $x >= 0$. Quindi i valori che le fornisce la $f$ dovranno essere $>=0$, giusto? Allora guardo la retta blu e mi chiedo "quando è che la funzione blu assume valori maggiori di zero?" La risposta è da $-1$ in avanti. Quindi concludo che il dominio della funzione composta è effettivamente $[-1, +oo)$.
Grazie delle risposte.... adesso è tutto molto più chiaro.
Mi scuso con @melia ma non mi ero collegata e solo adesso ho visto la sua risposta.
Comunque è un esercizio che mi ha dato la prof.... ed anche io non avevo capito quale fosse la f e quale la g.
Ringrazio ancora tutti e rinnovo le mie scuse ad @amelia.
Mi scuso con @melia ma non mi ero collegata e solo adesso ho visto la sua risposta.
Comunque è un esercizio che mi ha dato la prof.... ed anche io non avevo capito quale fosse la f e quale la g.
Ringrazio ancora tutti e rinnovo le mie scuse ad @amelia.
Non hai niente da scusare, il mio non era un richiamo, ma solo una constatazione: sapere quale funzione fosse f e quale g sarebbe stato utile. 
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