Dominio di una funzione logaritmica con parametro

[oleg.fresi]

Ho questa funzione logaitmica e cheide per quale valore di k il dominio risulta R: $log(x^2+kx+1)$
Ho imposto che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero ma poi risolvendo la disequazione ho il parametro sotto radice. Cosa posso fare per risolverlo o come devo gestire quel parametro? Potreste aiutarmi per favore?

[mgrau]

"olegfresi":Ho questa funzione logaitmica e cheide per quale valore di k il dominio risulta R: $log(x^2+kx+1)$
Ho imposto che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero ma poi risolvendo la disequazione ho il parametro sotto radice. Cosa posso fare per risolverlo o come devo gestire quel parametro? Potreste aiutarmi per favore?

Se poni il delta dell'equazione $x^2+kx+1 < 0$ ( ovvero $k^2-4<0 -> -2 0

[oleg.fresi]

Perchè devo porre il delta minore di zero

[mgrau]

"olegfresi":Perchè devo porre il delta minore di zero

Così sei sicuro che l'equazione $x^2+kx+1=0$ non ha soluzioni, cioè il polinomio $x^2+kx+1$ non si azzera mai, conserva sempre lo stesso segno. Dato che, per $x=0$, è positivo, allora è positivo per ogni $x$

[oleg.fresi]

Qundi non posso mettere delta maggiore di zero perchè senno avrei due intersezioni con x quindi devo mettere delta minore di zero, giusto? Ma da R verrebbero esclusi i valori per cui si annulla o no?

[mgrau]

"olegfresi": Ma da R verrebbero esclusi i valori per cui si annulla o no?

I valori di che cosa? Se delta < 0 (cioè per k compreso fra 2 e -2) NON ci sono valori di x per cui l'argomento del logaritmo si annulla

[oleg.fresi]

Ok ma se il logaritmo si annullasse il valore sarebbe zeo che è un numero reale o no?

[mgrau]

"olegfresi": ma se il logaritmo si annullasse....

Il logaritmo, o il suo argomento?

"olegfresi":il valore sarebbe zero che è un numero reale o no?

certo, chi dice di no?

[oleg.fresi]

Allora credo di aver capito: l'argomento del logaritmo deve essere un valore solo positivo quindi bisogna imporlo maggiore di zero. Poi il delta dell'equazione associata alla disequazione bisogna porlo minore di zero perchè se si mettesse maggiore o uguale a zero si troverebbero i valori per cui si annulla che non sono ammissibili e mentre mettendolo minore di zero si trovano tutti i valori tranne quelli per cu si annulla, giusto?

[Bokonon]

"olegfresi":Allora credo di aver capito: l'argomento del logaritmo deve essere un valore solo positivo quindi bisogna imporlo maggiore di zero

Fino a qua è ok.
Ora vorrei darti un'altra prospettiva al problema.
Cos'è l'argomento del logaritmo? Un fascio di funzioni che varia al variare del parametro k.
Che tipo di funzioni? Un fascio di parabole concave verso l'alto che passano tutte per il punto (0,1).
E di tutte queste infinite parabole quali vogliamo? Solo quelle che ci danno la certezza che restituiscano solo e unicamente valori positivi.

Questi sono i grafici rispettivamente per K=2 e K=-2 dell'argomento.
Come vedi danno entrambe sempre valori positivi di f(x) eccetto che in un punto (per (k=2 e x=-1) e per (k=-2 e x=1)), quindi dobbiamo scartarle perchè esiste un valore di x per quei due valori di k che ci darebbe log(0).
Per valori di -2f(x) è sempre positiva. E queste quindi sono le parabole che vogliamo.
Per tutti gli altri valori di K invece le parabole si "abbassano" sotto l'asse X, ergo avranno un intervallo di valori della x per cui la f(x) sarà negativa oppure zero.
Riesci a vedere il problema più chiaramente adesso?

[oleg.fresi]

Ti ringrazio davvero tanto per l'ottima spiegazione, ora ho capito meglio perchè.