Dominio di una funzione

[Nukenin]

Ciao.

Ho difficoltà nel determinare il dominio di questa funzione.
Vi lascio il mio svolgimento seppur errato:

$y=log [2(5^x)-3(2^x)]$

$2(5^x)-3(2^x)>0$

$2(xlog5)-3(xlog2)>0$

$x(2ln5-3ln2)>0 $

$x>0$

[@melia]

Da qui $2(5^x)-3(2^x)>0$ ci sono degli errori nella trasformazione, il procedimento corretto è quello di isolare gli addendi

$2(5^x)>3(2^x)$ poi possibile passare al logaritmo ciascun membro

$ln(2*5^x)>ln(3*2^x)$ usando i teoremi sui logaritmi diventa

$ln2+xln5>ln3+xln2$ i termini con le variabili a primo membro, il resto a secondo

$x(ln5-ln2)>ln3-ln2$ poichè il logaritmo naturale di 5 è maggiore del logaritmo naturale di 2, si può dividere per il coefficiente della variabile che è positivo

$x>(ln3-ln2)/(ln5-ln2)$

[Nukenin]

Altra funzione:

$y=(log_3 2-log_3x)^-3$

In questo caso devo porre $log_3(2)-log_3(x)>0$, da cui ottengo che $0
Non mi trovo però con la soluzione: $]0,22,+oo[$

Cosa c'è che non va?

[adaBTTLS1]

non c'è motivo di imporre il tutto positivo; il primo logaritmo è ben definito; il cubo non dà problemi; c'è solo l'argomento del secondo logaritmo che porta a $x>0$ e il fatto che l'esponente è negativo, per cui quello che vedi tra parentesi è al denominatore, per cui va imposto diverso da zero, il che porta a $x != 2$.

[Nukenin]

In una funzione del genere, qual è il c.e. sapendo che l'argomento del log dev'essere positivo e nel frattempo compreso tra -1 e 1?

$y=log(arcsin ((x+6)/(x-2)))$

[volaff1]

devi imporre l'argomento del log maggiore di zero e l'argomento dell'arcsin compreso tra -1 e 1 : un bel sistema!

[Nukenin]

In definitiva avrò:

-Argomento del log >0: $arcsin ((x+6)/(x-2))>0$, che diventa $0<((x+6)/(x-2))<1$, giusto?

-Argomento dell'arcoseno compreso tra -1 e 1: $-1<((x+6)/(x-2))<1$

[G.D.5]

Sì.

[@melia]

Mancano alcuni $=$

Argomento del log >0: $arcsin ((x+6)/(x-2))>0$, che diventa $0<((x+6)/(x-2))<=1$
Argomento dell'arcoseno compreso tra -1 e 1: $-1<=((x+6)/(x-2))<=1$

Che insieme diventano $0<((x+6)/(x-2))<=1$

[Nukenin]

In questa funzione devo procedere in maniera analoga alla precedente?

$y=log(arccos((x^2-3)/(x^2+4)))$

C.E.:

1) $arccos((x^2-3)/(x^2+4))>0$, da cui $0<((x^2-3)/(x^2+4))<=1$

2) $-1<=((x^2-3)/(x^+4))<=1$

Così facendo ho ottenuto $D=]-oo,-sqrt(3)] U [sqrt(3),+oo[$, che non è corretto, perché la soluzione è $D=R$.

[@melia]

Non va bene perché l'arcoseno è compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$ ed è positivo quando anche il seno è positivo.
Invece l'arcocoseno assume valori compresi tra $0$ e $pi$, e vale $0$ quando il coseno vale $1$.
$arccos((x^2-3)/(x^2+4))>0 => -1<=(x^2-3)/(x^2+4)<1$ che riassume entrambe le condizioni.

[Nukenin]

Nel determinare il dominio di $sqrt((x^2(x-1))/(x+1))$ ho calcolato il c.e. come segue:

$x^2(x-1)>=0$ ===> $∀ x∈R, x>=1$
$x+1>0$ ===> $x> -1$

ottendendo: $D=]-oo, -1[U[1,+oo[$

Nel verificarne l'esattezza, noto che anche lo $0$ è compreso nel dominio. Perché? Cosa ometto?

[axpgn]

Il radicando esiste se non è negativo quindi basta sostituire per verificare che anche zero è nel dominio ...
L'errore tuo (probabilmente) è stato quello di trattare tutto l'intervallo $(-1,1]$ come se fosse sempre negativo mentre in $x=0$ e in $x=1$ vale zero ... quando si fa lo schemino per lo studio del segno si deve porre attenzione anche a queste "sottigliezze" ...