Dominio di funzione,esame di stato 2003
L'esercizio è preso dalla prova scritta per il l.scientifico,corso sperimentale sessione suppletiva 2003, quesito 3:
"il dominio della funzione $f(x)=sqrt(x- sqrt(x^2-2x))$ è l'insieme degli x reali tali che:
a)$x<= 0$ e/o $x>2$
b)$x<= 0$ e/o $x>=2$
c)$x=0$ e/o $x>2$
d) $x=0$ e/o $x>=2$
Io mi sono costruita questo sistema:
$\{(x^2-2x >=0), (x - sqrt(x^2 - 2x) >=0), (x>=0):}$
Per la 1°diseq. non ho dubbi.. ho ricondotto all'eq.associata,quindi eq.di 2°grado spuria e quindi la diseq. essendo delta >0 e f(x)>0 è verificata per valori esterni,quindi $x=0$ ; $x >=2$
Passo a risolvere la diseq. irrazionale,quindi:
$x - sqrt(x^2-2x)>=0$
$x >=sqrt(x^2-2x)$
elevando entrambi i membri al quadrato mi libero della radice e viene un'eq.polinomiale:
$x^2= x^2-2x$
Adesso io eliminerei $x^2$ da entrambi i membri,perchè portandomeli dalla stessa parte farebbero 0, invece controllando nello svolgimento della prova dopo aver impostato il sistema come me ecc.. la diseq.irrazionale diventa:
$x^2 >=x^2-2x$
$x(x-2)>=0$
Perchè??? Il risultato riesce,ma $x^2$ del 1° membro e $x^2$ del 2°membro come fanno a "lasciarlo"..
"il dominio della funzione $f(x)=sqrt(x- sqrt(x^2-2x))$ è l'insieme degli x reali tali che:
a)$x<= 0$ e/o $x>2$
b)$x<= 0$ e/o $x>=2$
c)$x=0$ e/o $x>2$
d) $x=0$ e/o $x>=2$
Io mi sono costruita questo sistema:
$\{(x^2-2x >=0), (x - sqrt(x^2 - 2x) >=0), (x>=0):}$
Per la 1°diseq. non ho dubbi.. ho ricondotto all'eq.associata,quindi eq.di 2°grado spuria e quindi la diseq. essendo delta >0 e f(x)>0 è verificata per valori esterni,quindi $x=0$ ; $x >=2$
Passo a risolvere la diseq. irrazionale,quindi:
$x - sqrt(x^2-2x)>=0$
$x >=sqrt(x^2-2x)$
elevando entrambi i membri al quadrato mi libero della radice e viene un'eq.polinomiale:
$x^2= x^2-2x$
Adesso io eliminerei $x^2$ da entrambi i membri,perchè portandomeli dalla stessa parte farebbero 0, invece controllando nello svolgimento della prova dopo aver impostato il sistema come me ecc.. la diseq.irrazionale diventa:
$x^2 >=x^2-2x$
$x(x-2)>=0$
Perchè??? Il risultato riesce,ma $x^2$ del 1° membro e $x^2$ del 2°membro come fanno a "lasciarlo"..
Risposte
"DaFnE":
Perchè??? Il risultato riesce,ma $x^2$ del 1° membro e $x^2$ del 2°membro come fanno a "lasciarlo"..
Perché hanno sbagliato, quello che dici tu è corretto.
"DaFnE":
$\{(x^2-2x >=0), (x - sqrt(x^2 - 2x) >=0), (x>=0):}$
Perché hai messo anche la terza condizione?
Bastano le prime due condizioni, la terza è automaticamente verificata se sono
soddisfatte le prime due.
Certo perchè anche la X è sotto radice pari e quindi deve essere "maggiore" o "uguale" a zero. Comunque sia rimane sempre la questione dello svolgimento della disequazione irrazionale.
PS: anche nello svolgimento di questa prova d'esame consideravano la X "maggiore" o "uguale" a zero quindi l'errore non è quello.
PS: anche nello svolgimento di questa prova d'esame consideravano la X "maggiore" o "uguale" a zero quindi l'errore non è quello.
"DaFnE":
...
Certo perchè anche la X è sotto radice pari e quindi deve essere "maggiore" o "uguale" a zero
...
Sicura?
Prova un po' con la funzione
$sqrt(-1-x)$
E' chiaramente un errore di chi ha risolto...la risposta corretta è l'ultima, se non ho sbagliato i conti.
La condizione $x>=0$ va imposta, poiche' ponendo la radice in modo che sia non negativa, la disequazione e' soddisfatta se anche il monomio $x$ e' non negativo...d'altra parte abbiamo una disequazione irrazionale del tipo
$x-sqrt(x^2-2x)>=0$ cioe' $sqrt(x^2-2x)<=x$ che e' del tipo $sqrt(A(x))<=B(x)$, che si risolve legando a sistema
$A(x)>=0$ $(x^2-2x)>=0$
$B(x)>=0$ $x>=0$
$A(x)<=B^2(x)$ $(x^2-2x)<=x^2$
La condizione $x>=0$ va imposta, poiche' ponendo la radice in modo che sia non negativa, la disequazione e' soddisfatta se anche il monomio $x$ e' non negativo...d'altra parte abbiamo una disequazione irrazionale del tipo
$x-sqrt(x^2-2x)>=0$ cioe' $sqrt(x^2-2x)<=x$ che e' del tipo $sqrt(A(x))<=B(x)$, che si risolve legando a sistema
$A(x)>=0$ $(x^2-2x)>=0$
$B(x)>=0$ $x>=0$
$A(x)<=B^2(x)$ $(x^2-2x)<=x^2$
Forse non mi sono espresso bene.
Se la funzione è
$f(x) = sqrt(x - sqrt(x^2 - 2x))$
per determinare il dominio devo imporre che
$x^2 - 2x >= 0$ e $x - sqrt(x^2 - 2x) >= 0$
La condizione $x >= 0$ viene in un secondo momento,
quando vai a risolvere la disequazione $x - sqrt(x^2-2x) >= 0$ .
Sei d'accordo?
Se la funzione è
$f(x) = sqrt(x - sqrt(x^2 - 2x))$
per determinare il dominio devo imporre che
$x^2 - 2x >= 0$ e $x - sqrt(x^2 - 2x) >= 0$
La condizione $x >= 0$ viene in un secondo momento,
quando vai a risolvere la disequazione $x - sqrt(x^2-2x) >= 0$ .
Sei d'accordo?
"franced":
Forse non mi sono espresso bene.
Se la funzione è
$f(x) = sqrt(x - sqrt(x^2 - 2x))$
per determinare il dominio devo imporre che
$x^2 - 2x >= 0$ e $x - sqrt(x^2 - 2x) >= 0$
La condizione $x >= 0$ viene in un secondo momento,
quando vai a risolvere la disequazione $x - sqrt(x^2-2x) >= 0$ .
Sei d'accordo?
concordo in pieno!
"roxy":
[quote="franced"]Forse non mi sono espresso bene.
Se la funzione è
$f(x) = sqrt(x - sqrt(x^2 - 2x))$
per determinare il dominio devo imporre che
$x^2 - 2x >= 0$ e $x - sqrt(x^2 - 2x) >= 0$
La condizione $x >= 0$ viene in un secondo momento,
quando vai a risolvere la disequazione $x - sqrt(x^2-2x) >= 0$ .
Sei d'accordo?
concordo in pieno![/quote]
Ok!
"franced":
Forse non mi sono espresso bene.
Se la funzione è
$f(x) = sqrt(x - sqrt(x^2 - 2x))$
per determinare il dominio devo imporre che
$x^2 - 2x >= 0$ e $x - sqrt(x^2 - 2x) >= 0$
La condizione $x >= 0$ viene in un secondo momento,
quando vai a risolvere la disequazione $x - sqrt(x^2-2x) >= 0$ .
Sei d'accordo?
Stavo rispondendo a questo:
Certo perchè anche la X è sotto radice pari e quindi deve essere "maggiore" o "uguale" a zero. Comunque sia rimane sempre la questione dello svolgimento della disequazione irrazionale.
PS: anche nello svolgimento di questa prova d'esame consideravano la X "maggiore" o "uguale" a zero quindi l'errore non è quello.
E' chiaro che il campo di esistenza e' dato dall'intersezione dei campi di esistenza delle due radici
Ok
"oronte83":
E' chiaramente un errore di chi ha risolto...la risposta corretta è l'ultima, se non ho sbagliato i conti.
La condizione $x>=0$ va imposta, poiche' ponendo la radice in modo che sia non negativa, la disequazione e' soddisfatta se anche il monomio $x$ e' non negativo...d'altra parte abbiamo una disequazione irrazionale del tipo
$x-sqrt(x^2-2x)>=0$ cioe' $sqrt(x^2-2x)<=x$ che e' del tipo $sqrt(A(x))<=B(x)$, che si risolve legando a sistema
$A(x)>=0$ $(x^2-2x)>=0$
$B(x)>=0$ $x>=0$
$A(x)<=B^2(x)$ $(x^2-2x)<=x^2$
Esatto!anch'io ho fatto così e questa diseq.mi viene $-2x >=0$ e poi i risultati delle altre 2. giusto così,no?
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