Dominio di funzione

[nicolae1]

ciao ragazzi, ho un problemino su un dominio..
la funzione f(x) è:
$y=arcsin ((x+2)/x)$

essendo Dom(arcsin x)=[-1,1] pongo a sistema

${ ( (x+2)/x>=-1 ),( (x+2)/x<=1 ):}$

si ottiene:
${ ( x>=-1 ),( 2<0):}$
ora, esattamente, come trovo il dominio effettivo di f(x) avendo trovato le due condizioni?
essendo 2<0 impossibile, come lo traduco per trovare il dominio?

grazie

[Gi81]

La prima condizione da porre è $x!=0$, in quanto c'è una frazione e il denominatore è proprio $x$.
fatto ciò, osserviamo che $(x+2)/x= 1+2/x$, dunque si ha ${(1+2/x>= -1),(1+2/x <=1):}=> {(1/x>= -1),(1/x <=0):}$
La prima ha soluzione $x<= -1 vv x>0$, mentre la seconda ha soluzione $x<0$.

[nicolae1]

scusami, mi dici dove sbaglio?

${ ( x!= 0 ),( 1+2/x>=-1 ),( 1+2/x<=1 ):} rArr{ ( x!= 0 ),( 2/x>=-2 ),( 2/x<=0 ):}rArr{ ( x!= 0 ),( 1/x>=-1 ),( 1/x<=0 ):}rArr{ ( x!= 0 ),( 1>=-x ),( x<0 ):}rArr{ ( x!= 0 ),( -1<=x ),( x<0 ):}rArr{ ( x!= 0 ),( x>=-1 ),( x<0 ):}$

quindi risulterebbe che $-1<=(x+2)/x=1+2/x<=1$
se:
$-1<=x<0$

EDIT: facendo la verifica sostituendo dei valori in quel range è errato!
mi dai una mano?
grazie mille

[Gi81]

Sbagli quando passi da $1/x>= -1 $ a $1>= -x$.
Non puoi moltiplicare ambo i membri per $x$. E' una disequazione

[nicolae1]

ecco l'errore!
grazie mille.
ma prprio praticamente parlando, una volta arrivato a:
$ {(1+2/x>= -1),(1+2/x <=1):}=> {(1/x>= -1),(1/x <=0):} $

i valori effettivi di x li trovi andando a ragionamento o c'è un metodo preciso?

[Gi81]

C'è un metodo preciso:
$1/x>= -1 => (x+1)/x>=0 =>$ (numeratore e denominatore, poi tabella dei segni)$ => x<= -1 vv x>0$

$1/x<=0 => x<0$ (questa è immediata)

[nicolae1]

e ifnine, il dominio della funzione di partenza:
$y=arcsin ((x+2)/x)$
è dato dall'intersezione delle soluzioni trovate nel sistema precedentemente giusto?

cioè: $(-oo ,-1)$