Dominio dei logaritmi

a42bbbb
Non riesco a capire una cosa sul campo di esistenza dei logaritmi ad esempio io posso scrivere :
$ log x(x+1) $ come $ log x + log(x+1) $
Ora il primo ha come Dominio x>0 o x<-1 mentre il secondo solo x>0 , quindi voglio capire cosa devo fare esattamente perchè ho capito che se me lo trovo scritto nella prima forma devo fare il dominio di quella forma , ma non capisco perchè se cambio forma quindi il logaritmo resta uguale allora il dominio cambia
Aiutoo!

Risposte
gugo82
Infatti non è vero che si può sempre scrivere $log (ab)= log a + log b$... C'è una clausola, i.e. che le espressioni ai due lati dell'uguaglianza abbiano senso contemporaneamente.
Ciò si ottiene, di solito, tagliando le cose con l'accetta e richiedendo che $a,b >0$.

Tuttavia, il primo membro ha significato anche quando $a,b<0$ e perciò ha senso provare a far tornare i conti modificando opportunamente il secondo membro.
Dato che $ab=(-a)(-b)$ e che $a,b<0 => -a,-b >0$, hai:

$$\log (ab) = \log[(-a)(-b)] = \log(-a) + \log(-b)$$

e, visto che $-a=|a|$ e $-b=|b|$, la precedente la puoi scrivere $log(ab) = log|a| + log|b|$.
Quest'ultima relazione vale, ovviamente, anche nel caso in cui $a,b>0$ e restituisce la relazione da cui sei partito.

Quindi la legge:

$$\log (ab) = \log|a| + \log|b|$$

è la forma più generale in cui puoi mettere la regola di semplificazione del logaritmo di un prodotto.

Però…

@melia
L'uguaglianza rimane solo se resta lo stesso dominio, infatti dovresti scrivere $log x(x+1) = log |x| + log|x+1|$

a42bbbb
Grazie mille :)

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