Dominio dei logaritmi

[a42bbbb]

Non riesco a capire una cosa sul campo di esistenza dei logaritmi ad esempio io posso scrivere :
$ log x(x+1) $ come $ log x + log(x+1) $
Ora il primo ha come Dominio x>0 o x<-1 mentre il secondo solo x>0 , quindi voglio capire cosa devo fare esattamente perchè ho capito che se me lo trovo scritto nella prima forma devo fare il dominio di quella forma , ma non capisco perchè se cambio forma quindi il logaritmo resta uguale allora il dominio cambia
Aiutoo!

[gugo82]

Infatti non è vero che si può sempre scrivere $log (ab)= log a + log b$... C'è una clausola, i.e. che le espressioni ai due lati dell'uguaglianza abbiano senso contemporaneamente.
Ciò si ottiene, di solito, tagliando le cose con l'accetta e richiedendo che $a,b >0$.

Tuttavia, il primo membro ha significato anche quando $a,b<0$ e perciò ha senso provare a far tornare i conti modificando opportunamente il secondo membro.
Dato che $ab=(-a)(-b)$ e che $a,b<0 => -a,-b >0$, hai:

$$\log (ab) = \log[(-a)(-b)] = \log(-a) + \log(-b)$$

e, visto che $-a=|a|$ e $-b=|b|$, la precedente la puoi scrivere $log(ab) = log|a| + log|b|$.
Quest'ultima relazione vale, ovviamente, anche nel caso in cui $a,b>0$ e restituisce la relazione da cui sei partito.

Quindi la legge:

$$\log (ab) = \log|a| + \log|b|$$

è la forma più generale in cui puoi mettere la regola di semplificazione del logaritmo di un prodotto.

Però…

Il secondo membro della relazione $log(ab) = log|a| + log|b|$ ha significato per ogni $a,b != 0$ (perché in tal caso $|a|, |b|>0$)… Quindi, con la stessa logica di cui sopra, potresti chiederti come avrebbe senso modificare il primo membro in modo da far tornare i conti per tutti gli $a,b != 0$.
Gli unici casi che rimangono fuori sono $a<0 ^^ b >0$ o viceversa $a>0 ^^ b<0$, in cui $ab<0$. In questi casi è chiaro che il modo più sensato di mettere le cose a posto è introdurre il valore assoluto anche nel logaritmo al primo membro, e perciò scrivere $log|ab| = log|a| + log|b|$.
Quest'ultima relazione, però, non è una legge di semplificazione per il logaritmo del prodotto (cioè per $log(ab)$) e quindi ha scarsa importanza pratica.

[@melia]

L'uguaglianza rimane solo se resta lo stesso dominio, infatti dovresti scrivere $log x(x+1) = log |x| + log|x+1|$

[a42bbbb]

Grazie mille