Domanda dubbio su una funzione.
Ho una funzione
$f_m=x^2/(|x-2m|+m)$
mi si chiede di ''trovare gli insieme di definizione''.
Sarebbe un altro modo per dire, trova il dominio?
Io ho fatto:
1) $m>0$
$f_m=x^2/(x-2m+m)$ ovvero $f_m=x^2/(x-m)$ quindi: $x=|m$
2) $m<0$
$f_m=x^2/(x^2+2m+m)$ ovvero $f_m=x^2/(x+3m)$ quindi: $m=|-x/3$
$f_m=x^2/(|x-2m|+m)$
mi si chiede di ''trovare gli insieme di definizione''.
Sarebbe un altro modo per dire, trova il dominio?
Io ho fatto:
1) $m>0$
$f_m=x^2/(x-2m+m)$ ovvero $f_m=x^2/(x-m)$ quindi: $x=|m$
2) $m<0$
$f_m=x^2/(x^2+2m+m)$ ovvero $f_m=x^2/(x+3m)$ quindi: $m=|-x/3$
Risposte
Yes.
Ti trovi con quel che ho fatto io?
Non ho il risultato.
**Non so come fare tipo 'x diverso'
ecco perchè esce =|
Non ho il risultato.
**Non so come fare tipo 'x diverso'
ecco perchè esce =|
Il simbolo di diverso si fa con !=
Il dominio non mi trovo.
Spiego.
Per $m=0$, il denominatore si riduce a $|x|$, sicché $"dom"f_0 = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Per $m>0$, il denominatore resta quello che è e va posto $|x-2m|+m != 0 \iff |x-2m| != -m \iff \forall x \in \mathbb{R}$ dato che $-m <0$: allora $"dom"f_{m>0}=\mathbb{R}$.
Per $m<0$, come sopra ma $|x-2m|!=-m \iff x-2m!=\pm m$ che va risolto: $"dom" f_{m<0}=\mathbb{R}\setminus\{3m,m\}$.
Il dominio non mi trovo.
Spiego.
Per $m=0$, il denominatore si riduce a $|x|$, sicché $"dom"f_0 = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Per $m>0$, il denominatore resta quello che è e va posto $|x-2m|+m != 0 \iff |x-2m| != -m \iff \forall x \in \mathbb{R}$ dato che $-m <0$: allora $"dom"f_{m>0}=\mathbb{R}$.
Per $m<0$, come sopra ma $|x-2m|!=-m \iff x-2m!=\pm m$ che va risolto: $"dom" f_{m<0}=\mathbb{R}\setminus\{3m,m\}$.
nel secondo caso hai scritto x^2 al posto di -x, dunque anche il segno del risultato va cambiato.
ma io non mi ritrovo con i "casi": il modulo ha argomento x-2m, non m, dunque che senso ha distinguere m>0 e m<0 ?
casomai x>2m ecc...
EDIT: si può anche procedere per l'altra via, ma mi pare più lunga per la verifica delle soluzioni.
clever, hai cancellato quello che avevi scritto?
io comunque per il dominio mi trovo con le soluzioni di WiZaRd.
ma io non mi ritrovo con i "casi": il modulo ha argomento x-2m, non m, dunque che senso ha distinguere m>0 e m<0 ?
casomai x>2m ecc...
EDIT: si può anche procedere per l'altra via, ma mi pare più lunga per la verifica delle soluzioni.
clever, hai cancellato quello che avevi scritto?
io comunque per il dominio mi trovo con le soluzioni di WiZaRd.
Wizard ha ragione.
Ci ho ripensato più attentamente.
Grazie.
Se ho altri dubbi posto.
Grazie ancora.
Ci ho ripensato più attentamente.
Grazie.
Se ho altri dubbi posto.
Grazie ancora.
Allora, ha ragione ada, il modulo è $ x-2m $. Tuttavia, secondo me bisogna analizzare i casi in funzione di $m$ nn di $x$, in quanto diciamo che la $x$ la "conosciamo", qui la funzione varia a seconda del parametro di $m$. Questo significa che
$ |x-2m|={(x-2m, if x-2m>0), (2m-x, if x-2m<=0):} $, ossia $ |x-2m|={(x-2m, if m= x/2):} $. Quindi
a) se $ m < x/2 $ si risolve l'equazione $ x-2m != -m $, ossia $ x != -m $;
b) se $ m > x/2 $ si risolve l'equazione $ 2m - x != -m $, ossia $ x != 3m $
Quindi la funzione per me diventa
$ x^2/(|x-2m|+m)={(x^2/(x-3m), if m > x/2), (x^2/(x+m), if m < x/2), (x^2/(x/2)=2x, if m=x/2):} $
o sbaglio a fare questo ragionamento? Aspetto notizie
$ |x-2m|={(x-2m, if x-2m>0), (2m-x, if x-2m<=0):} $, ossia $ |x-2m|={(x-2m, if m
a) se $ m < x/2 $ si risolve l'equazione $ x-2m != -m $, ossia $ x != -m $;
b) se $ m > x/2 $ si risolve l'equazione $ 2m - x != -m $, ossia $ x != 3m $
Quindi la funzione per me diventa
$ x^2/(|x-2m|+m)={(x^2/(x-3m), if m > x/2), (x^2/(x+m), if m < x/2), (x^2/(x/2)=2x, if m=x/2):} $
o sbaglio a fare questo ragionamento? Aspetto notizie
"Aliseo":
Allora, ha ragione ada, il modulo è $ x-2m $. Questo significa che
$ |x-2m|={(x-2m, if x-2m>0), (2m-x, if x-2m<=0):} $, ossia $ |x-2m|={(x-2m, if m= x/2):} $. Quindi
a) se $ m < x/2 $ si risolve l'equazione $ x-2m != -m $, ossia $ x != -m $;
b) se $ m >= x/2 $ si risolve l'equazione $ 2m - x != -m $, ossia $ x != 3m $
ok?
Io rispondo no.
Primo c'è un errore nella parte evidenziata in grassetto.
Secondo per quanto hai scritto risulta $"dom"f=\mathbb{R}\setminus{m}$ se $x>2m$ e $"dom"f=\mathbb{R}\setminus{3m}$ se $x<=2m$. Bene: se $m=0$ allora per $x>0$ il dominio è $\mathbb{R}\setminus\{0}$ e per $x<=0$ il dominio è $\mathbb{R}\setminus{0}$, quindi il dominio globale è $RR\setminus{0}$ e posso anche essere d'accordo, anche se pure in questo c'è un errore.
Se $m>0$ allora risulterebbe $x!=m$ oppure $x!=3m$ a seconda che sia $x>2m$ oppure $x<=2m$ rispettivamente: falso, perché per $m>0$ il denominatore è somma di due quantità una positiva e una non negativa, sicché non si annulla mai e il dominio è $RR$.
Tornando all'errore che rilevavo nel passaggio precedente: c'è sotto un sottile errore logico: hai dato il dominio conoscendo già le condizioni su di esso e, cosa più importante, hai dimenticato di rilevare quale sia la posizione reciproca di $m$ e $2m$ a seconda del segno di $m$. Facendo ciò avresti evitato la contraddizione rilevatata sopra circa la possibilità che sia $"dom"f=RR$.
"Aliseo":
Quindi la funzione per me diventa
$ x^2/(|x-2m|+m)={(x^2/(x-3m), if m > x/2), (x^2/(x+m), if m < x/2), (x^2/(x/2)=2x, if m=x/2):} $
o sbaglio a fare questo ragionamento? Aspetto notizie
Intanto per $m=\frac{x}{2}$ la funzione diventa $\frac{x^{2}}{m}$... per $m<\frac{x}{2}$ la funzione diventa $\frac{x^{2}}{x-m}$... e per $m>=\frac{x}{2}$ diventa $\frac{x^{2}}{3m-x}$...
Wizard nn so se sei riuscito a visualizzare la mia correzione del messaggio, xkè nn termina con "ok?" in mio mess .
Infatti nella mia correzione la funzione assume 3 ben valori in funzione di $m$, variabile che dipende indirettamente dal valore di $x$ (almeno x me). Concrdi?
. Infatti nella mia correzione la funzione assume 3 ben valori in funzione di $m$, variabile che dipende indirettamente dal valore di $x$ (almeno x me). Concrdi?
No scusa se la funzione è $ x^2/(|x-2m|+m) $, se $ m=x/2$, la funzione diventa
$ X^2/(|x-2*x/2|+x/2)=x^2/(|0|-x/2)=x^2/(x/2)=2x $
$ X^2/(|x-2*x/2|+x/2)=x^2/(|0|-x/2)=x^2/(x/2)=2x $
Ho visualizzato e risposto. Ma permane il problema, che, anzi, si accentua...
"Aliseo":
No scusa se la funzione è $ x^2/(|x-2m|+m) $, se $ m=x/2$, la funzione diventa
$ X^2/(|x-2*x/2|+x/2)=x^2/(|0|-x/2)=x^2/(x/2)=2x $
Hai ragione, ma a parte questo (è solo questione di sostituzione, basta prendere $m$ e sbatterci dentro $x/2$ per far combaciare i risultati), il problema si accentua, perché in questo modo il dominio risulta $RR$ anche nell'ipotesi che sia $m=0$, mentre il tal caso nella funzione originale va escluso $x=0$.
Ripeto: a mio avviso commetti un sottile errore logico nel volere risolvere la questione in questo modo.
@ aliseo
grazie per avermi dato fiducia, però qualsiasi strada si intraprenda non si finisce al primo esame.
giusta l'impostazione, ma dovevi fermarti a quello che poi ha riportato WiZaRd del tuo intervento, e proseguire facendo la discussione tra i vari casi.
riprendo da quello che hai fatto tu, cioè da come avevo impostato io, per arrivare alle stesse conclusioni di WiZaRd.
se $x>=2m$ si ha $x-m != 0 -> x != m$ -> ${[x>=2m],[x != m] :}$ ha soluzioni diverse a seconda di come è $m$
se $x<=2m$ si ha $-x+3m != 0 -> x != 3m$ -> analogamente ${[x<=2m],[x != 3m] :}$ ha soluzioni diverse a seconda di come è $m$
se $m=0$ entrambi i sistemi portano a $x != 0$, pertanto $D=RR-{0}$
se $m>0$, $m<2m<3m$, dunque il primo sistema è verificato $AA x>=2m$ ed il secondo $AA x<=2m$, pertanto $D=RR$
se $m<0$, $3m<2m
spero sia chiaro. ciao.
grazie per avermi dato fiducia, però qualsiasi strada si intraprenda non si finisce al primo esame.
giusta l'impostazione, ma dovevi fermarti a quello che poi ha riportato WiZaRd del tuo intervento, e proseguire facendo la discussione tra i vari casi.
riprendo da quello che hai fatto tu, cioè da come avevo impostato io, per arrivare alle stesse conclusioni di WiZaRd.
se $x>=2m$ si ha $x-m != 0 -> x != m$ -> ${[x>=2m],[x != m] :}$ ha soluzioni diverse a seconda di come è $m$
se $x<=2m$ si ha $-x+3m != 0 -> x != 3m$ -> analogamente ${[x<=2m],[x != 3m] :}$ ha soluzioni diverse a seconda di come è $m$
se $m=0$ entrambi i sistemi portano a $x != 0$, pertanto $D=RR-{0}$
se $m>0$, $m<2m<3m$, dunque il primo sistema è verificato $AA x>=2m$ ed il secondo $AA x<=2m$, pertanto $D=RR$
se $m<0$, $3m<2m
spero sia chiaro. ciao.
ah ok! ora ho capito il mio errore: considerare la funzione in "funzione" di $m$ e nn di $x$ ... Tutto risolto.
Ero arrivata solo alla prima parte di ciò che ha scritto ada, ma il resto non ci avrei pensato
**Come sei arrivata a dire che $m>0 m<2m<3m$?
Quindi quando trovo una cosa del genere, cioè modulo avente una $x$ e una $m, k$ devo fare questi ragionamenti.
Tipo se fosse stato
$f_m= x^3/(|x-2m|)$
avrei dovuto vedere
prima $x!=2m$ quando $x-2m>0$ e poi gli altri casi giusto?
"clever":
**Come sei arrivata a dire che $m>0 m<2m<3m$?
Quindi quando trovo una cosa del genere, cioè modulo avente una $x$ e una $m, k$ devo fare questi ragionamenti.
Tipo se fosse stato
$f_m= x^3/(|x-2m|)$
avrei dovuto vedere
prima $x!=2m$ quando $x-2m>0$ e poi gli altri casi giusto?
Beh, è chiaro ed evidente che $1<2<3$ e moltiplicando per $m>0$ i versi non cambiano: $m<2m<3m$.
Per la nuova funzione, non occorre perché il modulo è nullo sse lo è l'argomento: $x-2m!=0 \iff x!=2m$.
Avere un pattern per risolvere gli esercizi è molto utile, ma non dimenticate di unire al pattern l'uso delle definizioni: spesso il problema risulta semplificato.
P.S.
Chiedo perdono a adaBTTLS se mi permettodi rispondere.
Scusa l'ignoranza. cosa è un pattern?
@ WiZaRd
ci mancherebbe! grazie per aver risposto al posto mio!
ci mancherebbe! grazie per aver risposto al posto mio!
"clever":
Scusa l'ignoranza. cosa è un pattern?
Un modello. Spesso lo studente è abiutuato a trattare le equazioni coi moduli con il classico schema dei sistemi, quando potrebbe risolverla in due passaggi con semplici osservazioni.
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