Domanda banale sul calcolo combinatorio
Vorrei capire come sia possibile, attraverso il calcolo combinatorio, determinare (senza eseguire i prodotti) il numero dei monomi che posso ottenere da $(a+b)^n$.
Se per es. ho $(a+b)^5$ come faccio a determinare tutti i monomi del tipo $a^(5-k)b^k$ con $0<=k<=5$?
Se per es. ho $(a+b)^5$ come faccio a determinare tutti i monomi del tipo $a^(5-k)b^k$ con $0<=k<=5$?
Risposte
"HowardRoark":
Vorrei capire come sia possibile, attraverso il calcolo combinatorio, determinare (senza eseguire i prodotti) il numero dei monomi che posso ottenere da $(a+b)^n$.
E' un polinomio di grado n, quindi...
"HowardRoark":
Se per es. ho $(a+b)^5$ come faccio a determinare tutti i monomi del tipo $a^(5-k)b^k$ con $0<=k<=5$?
Usa il triangolo di tartaglia.
Beh, ricordando che $(a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$ se, per esempio, $k=3$ cioè $b^3$, allora significa che hai preso $b$ tre volte da quelle cinque parentesi (e $a$ dalle altre due); in quanti modi puoi pescare tre oggetti da cinque? 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Bokonon":
Usa il triangolo di tartaglia.
Il triangolo di tartaglia mi suggerisce che i monomi sono $32$, però la mia idea era quella di arrivarci applicando un concetto del calcolo combinatorio...
"axpgn":
Beh, ricordando che $(a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$ se, per esempio, $k=3$ cioè $b^3$, allora significa che hai preso $b$ tre volte da quelle cinque parentesi (e $a$ dalle altre due); in quanti modi puoi pescare tre oggetti da cinque?
Cordialmente, Alex
' Ad occhio ' , mi sembra che dalle 5 parentesi posso scegliere 3 volte b in 8 modi diversi, però ripeto: ho contato le combinazioni possibili senza applicare nessuna formula, quindi probabile che abbia dimenticato qualche cosa
"HowardRoark":
Il triangolo di tartaglia mi suggerisce che i monomi sono $32$, però la mia idea era quella di arrivarci applicando un concetto del calcolo combinatorio...
Eh?
Un polinomio di grado 5:
$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex^1+fx^0$
Te l'ho scritto pure per esteso. E' composto da 5+1=6 monomi...quindi, in generale, $n+1$
Vale per tutti i polinomi di grado 5, inclusi (ovviamente) quelli con 5 radici coincidenti. La relazione con il binomio di newton è evidente, no?
La riga corrispondente nel triangolo di tartaglia è 1 5 10 10 5 1 (la cui somma è $2^5=32$) che non sono altro che le combinazioni $C(5,k)$ con k=0,...,5 e sono i coefficienti da associare ai corrispondenti $a^(5-k)b^k$
Adesso sviluppami $sum_(k=0)^4 C(4,k)*3a^(4-k)*(-2b^k)$
"HowardRoark":
' Ad occhio ' , mi sembra che dalle 5 parentesi posso scegliere 3 volte b in 8 modi diversi, …
Eh, no … tre oggetti da un insieme di cinque si possono scegliere in $((5),(3))=(5*4*3)/(1*2*3)=10$ modi diversi … ovvero le combinazioni di $k$ oggetti scelti tra un insieme di $n$ oggetti $((n),(k))$
Cordialmente, Alex
@Bokonon
Se intende i monomi "uscenti" da tutte le moltiplicazioni "prima" di essere accorpati tra monomi simili sono effettivamente $32=2^5$
Se intende i monomi "uscenti" da tutte le moltiplicazioni "prima" di essere accorpati tra monomi simili sono effettivamente $32=2^5$
"axpgn":
@Bokonon
Se intende i monomi "uscenti" da tutte le moltiplicazioni "prima" di essere accorpati tra monomi simili sono effettivamente $32=2^5$
Esatto, intendevo quello. In effetti non si capiva bene
Comunque la risposta al mio quesito è proprio 32, e per capirlo bastava che ragionassi col prodotto cartesiano.
Ora mi rendo conto di quanto fosse banale; questi sono gli effetti della dimostrazione del binomio di Newton che ho studiato questa mattina...
Ora mi rendo conto di quanto fosse banale; questi sono gli effetti della dimostrazione del binomio di Newton che ho studiato questa mattina...
"axpgn":
@Bokonon
Se intende i monomi "uscenti" da tutte le moltiplicazioni "prima" di essere accorpati tra monomi simili sono effettivamente $32=2^5$
Doh!
E' davvero difficile prevedere certe "richieste": uno di norma pensa ai monomi "unici".
Ammirevole come tu riesca ad entrare nella testa di Howard
"HowardRoark":
Vorrei capire come sia possibile, attraverso il calcolo combinatorio, determinare (senza eseguire i prodotti) il numero dei monomi che posso ottenere da $(a+b)^n$.
Se per es. ho $(a+b)^5$ come faccio a determinare tutti i monomi del tipo $a^(5-k)b^k$ con $0<=k<=5$?
Posta così la risposta alla tua domanda può essere solo $6$.
Infatti:
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*a^(n-k)*b^k$
Nel tuo caso:
$(a+b)^5=\sum_{k=0}^{5}((5),(k))*a^(n-k)*b^k$
E lo sviluppo del binomio ha $6$ termini. Punto e fine.
Anche se ho passato gli ultimi due giorni a banchettare pertanto potrei non aver recuperato tutte le mie facoltà.
"Bokonon":
[quote="axpgn"]@Bokonon
Se intende i monomi "uscenti" da tutte le moltiplicazioni "prima" di essere accorpati tra monomi simili sono effettivamente $32=2^5$
Doh!
E' davvero difficile prevedere certe "richieste": uno di norma pensa ai monomi "unici".
Ammirevole come tu riesca ad entrare nella testa di Howard
[/quote]Che poi non sarebbe neanche la prima volta.
Quando ero proprio agli inizi con la matematica avevo postato un'espressione letterale (mi sembra) da semplificare.
Io ovviamente non sapevo che per sommare due frazioni contenenti espressioni letterali la cosa migliore da fare fosse prima fattorizzare i denominatori e poi farne il $mcm$, sicché mi ero limitato a moltiplicarli. Mi era venuto un risultato assurdo, e anche in quel frangente aveva intuito cosa avessi fatto
"SirDanielFortesque":
[quote="HowardRoark"]Vorrei capire come sia possibile, attraverso il calcolo combinatorio, determinare (senza eseguire i prodotti) il numero dei monomi che posso ottenere da $(a+b)^n$.
Se per es. ho $(a+b)^5$ come faccio a determinare tutti i monomi del tipo $a^(5-k)b^k$ con $0<=k<=5$?
Posta così la risposta alla tua domanda può essere solo $6$.
Infatti:
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))*a^(n-k)*b^k$
Nel tuo caso:
$(a+b)^5=\sum_{k=0}^{5}((5),(k))*a^(n-k)*b^k$
E lo sviluppo del binomio ha $6$ termini. Punto e fine.
Anche se ho passato gli ultimi due giorni a banchettare pertanto potrei non aver recuperato tutte le mie facoltà.[/quote]
Concordo con te.
"HowardRoark":
anche in quel frangente aveva intuito cosa avessi fatto
Affinità elettive
(Scherzo eh!)
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