Domanda banale
scusate per la domanda stupida: esiste la differenza algebrica? e se si, la somma e la diferenza con l'introduzione dei numemri relaitivi non sono poi la stessa cosa?
Risposte
"WiZaRd":
Personalmente io non ho mai visto la sottrazione come una operazione vera e propria.
Per quello che so (molto molto poco) una operazione in un insieme $S$ è un'applicazione $f : S \times S \to S$: in questo senso la sottrazione non è una operazione in $NN$ per il semplice fatto che non tutte le coppie di $NN \times NN$ hanno il corrispondente in $NN$.
La sottrazione diviene una operazione in $ZZ$ e quì ho sempre definito la differenza come somma con un opposto, cioè ho sempre usato il segno di opposto e il segno di somma per definire il segno di sottrazione (cosa che abbiamo fatto all'Università in questo primo corso di Algebra - premetto che gruppi, anelli, campi e compagnia bella li faremo a partire da Marzo, quindi...)
PERFETTO!!!
Bene...siamo in accordo
"Russell":
Amandy dice bene!!
$a-b=a+(-b)$ non è un'affermazione, è la definizione di un NUOVO simbolo (binario con notaziona infissa)
Grazie.
Bisogna anche cercare di spiegare ad uno studente di 1° superiore (al fine di chiarire i suoi legittimi dubbi) usando un linguaggio che se pur rigoroso sia in linea con le sue conoscenze.
L'impegno e la passione di Pippo93 è ammirevole (ce ne fossero!!!!), ma non si deve esagerare soprattutto quando si possono usare termini ed esempi più chiari: la matematica può essere molto semplice (affatto banale) o estremamente contorta e complicata... dipende da noi.
Vorrei suggerirti una riflessione.
Ti volevo mettere in guardia da un inconvente.
I simboli (+) e (-) oltre che per indicare le operazioni di somma e sottrazione indicano il segno del numero (relativo).
Considera questa interpretazione:
(+) indica l'appartenenza alla semiretta positiva
(-) indica l'appartenenza a quella negativa
Se accetti questa interpretazione avrai degli inconvenienti infatti se ne può dedurre subito che avendo i due simboli un significato analogo (l'appartenenza ad una semiretta) c'è da aspettarsi che sottostiano a regole uguali. E' ovvio che non è così ( "-" per "-" fa "+"; ma "+" x "+" non fa "-").
Inoltre poniamo di dover indicare la data di nascita di Giulio Cesare. Tu scriverai 42 a.c. o coi numeri relativi (-42) quindi il segno meno può sembrare indice della appartenenza ad un intervallo di tempo (quello che precede l'anno zero).
In matematica il senso del segno (-) non è questo. Ne hai una prova dal fatto che incontri scritture del tipo -(-23). Che senso gli daresti?
Avrebbe senso parlare dell'anno (23 a.c.)a.c. Direi di no.
Allora conviene pensare che in segno (-) indichi semplicemente ("non appartinene a"; oppure "appartiene all'altro")
Allora ha senso dire -(-a) = a. Nota che qui però non c'è nessuna sottrazione (il cui segno sta sempre fra due termini). Per questo prima ti avevo suggerito riflettere anche sul doppio significato dei segni +,-.
Così i segni + e - hanno significato diversi ed è intuitivo che abbiano regole diverse.
Scusami se ti ho confuso
Ti volevo mettere in guardia da un inconvente.
I simboli (+) e (-) oltre che per indicare le operazioni di somma e sottrazione indicano il segno del numero (relativo).
Considera questa interpretazione:
(+) indica l'appartenenza alla semiretta positiva
(-) indica l'appartenenza a quella negativa
Se accetti questa interpretazione avrai degli inconvenienti infatti se ne può dedurre subito che avendo i due simboli un significato analogo (l'appartenenza ad una semiretta) c'è da aspettarsi che sottostiano a regole uguali. E' ovvio che non è così ( "-" per "-" fa "+"; ma "+" x "+" non fa "-").
Inoltre poniamo di dover indicare la data di nascita di Giulio Cesare. Tu scriverai 42 a.c. o coi numeri relativi (-42) quindi il segno meno può sembrare indice della appartenenza ad un intervallo di tempo (quello che precede l'anno zero).
In matematica il senso del segno (-) non è questo. Ne hai una prova dal fatto che incontri scritture del tipo -(-23). Che senso gli daresti?
Avrebbe senso parlare dell'anno (23 a.c.)a.c. Direi di no.
Allora conviene pensare che in segno (-) indichi semplicemente ("non appartinene a"; oppure "appartiene all'altro")
Allora ha senso dire -(-a) = a. Nota che qui però non c'è nessuna sottrazione (il cui segno sta sempre fra due termini). Per questo prima ti avevo suggerito riflettere anche sul doppio significato dei segni +,-.
Così i segni + e - hanno significato diversi ed è intuitivo che abbiano regole diverse.
Scusami se ti ho confuso
I simboli $-$ usati per differenza e segno sono DIVERSI.
L'uno è binario infisso, l'altro è unario prefisso. Queste caratteristiche non sono accessori del simbolo ma ne fanno parte a pieno titolo.
Inoltre "+" e "-" non indicano alcuna "appartenenza". C'è un solo simbolo che denota l'appartenenza ed è $in$.
Considera il numero $7$. Tu mi dirai che tale numero è $+7$, ma in matematica quest'ultimo simbolo non ha significato, a meno che non lo si definisca (ma è del tutto inutile!)
Il simbolo $-$ non denota nulla di "negativo". Ad esempio $-(-5)$ è positivo. Il segno $-$ denota l'opposto (l'articolo determinativo è lecito, giacchè l'opposto è effittivamente unico, e questo è un teorema da dimostrare).
Quanto alla "negatività", il massimo che puoi dire è che se $a$ è maggiore di $0$ allora il suo opposto $-a$ è minore di $0$.
Questo vale in tutti i gruppi ed è un teorema da dimostrare sulla base degli assiomi.
Potremmo anche usare un simbolo del tutto diverso per la differenza. Scegliamo ad esempio $#$
Poniamo $a#b:=a+(-b)$. Così avremo 7#5=2 e non ci sarà pericolo di confusione tra $-$ in un senso e $-$ nell'altro!
Infine questi concetti sono ben più primordiali (dal punto di vista logico) dei concetti di retta e semiretta, inutli in questo contesto. Non è il caso di scomodarli...
L'uno è binario infisso, l'altro è unario prefisso. Queste caratteristiche non sono accessori del simbolo ma ne fanno parte a pieno titolo.
Inoltre "+" e "-" non indicano alcuna "appartenenza". C'è un solo simbolo che denota l'appartenenza ed è $in$.
Considera il numero $7$. Tu mi dirai che tale numero è $+7$, ma in matematica quest'ultimo simbolo non ha significato, a meno che non lo si definisca (ma è del tutto inutile!)
Il simbolo $-$ non denota nulla di "negativo". Ad esempio $-(-5)$ è positivo. Il segno $-$ denota l'opposto (l'articolo determinativo è lecito, giacchè l'opposto è effittivamente unico, e questo è un teorema da dimostrare).
Quanto alla "negatività", il massimo che puoi dire è che se $a$ è maggiore di $0$ allora il suo opposto $-a$ è minore di $0$.
Questo vale in tutti i gruppi ed è un teorema da dimostrare sulla base degli assiomi.
Potremmo anche usare un simbolo del tutto diverso per la differenza. Scegliamo ad esempio $#$
Poniamo $a#b:=a+(-b)$. Così avremo 7#5=2 e non ci sarà pericolo di confusione tra $-$ in un senso e $-$ nell'altro!
Infine questi concetti sono ben più primordiali (dal punto di vista logico) dei concetti di retta e semiretta, inutli in questo contesto. Non è il caso di scomodarli...
Mi permetto di osservare che il segno è di sicuro lo stesso. Usato in modi diversi ha significati diversi.
Il segno grafico è lo stesso, ma non il segno nel suo complesso. Questi studi concernono la semiotica.
La notazione e l'uso del simbolo sono parte del simbolo!
I simboli di differenza e di "segno di un numero" sono DIVERSI!
La notazione e l'uso del simbolo sono parte del simbolo!
I simboli di differenza e di "segno di un numero" sono DIVERSI!
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