Domanda banale
scusate per la domanda stupida: esiste la differenza algebrica? e se si, la somma e la diferenza con l'introduzione dei numemri relaitivi non sono poi la stessa cosa?
Risposte
La somma algebrica è commutativa, se infatti con $5-7$ si intende $5 + (-7)$ questo è uguale a $(-7) + 5$. Ma la sottrazione $(-12) - (+15)$ è diversa da $(+15) - (-12)$. Resta il fatto che da una sottrazione ci si può sempre ricondurre ad una somma algebrica, anche se io direi che non sono proprio la stessa cosa. Non so se era questo il dubbio...
"Tipper":
La somma algebrica è commutativa, se infatti con $5-7$ si intende $5 + (-7)$ questo è uguale a $(-7) + 5$. Ma la sottrazione $(-12) - (+15)$ è diversa da $(+15) - (-12)$. Resta il fatto che da una sottrazione ci si può sempre ricondurre ad una somma algebrica, anche se io direi che non sono proprio la stessa cosa. Non so se era questo il dubbio...
si, ma perchè dici che non sono proprio la stessa cosa?
Ad esempio perché una è commutativa, l'altra no. Non è mica sempre vero che $a - b = b - a$.
"Tipper":
Ad esempio perché una è commutativa, l'altra no. Non è mica sempre vero che $a - b = b - a$.
ah ho capito,
però se vedi $a - b = b - a$ come $a+(-b)$ allora si che è commutativa, no? Non sono quindi la stessa cosa scritta in due modi diversi?
Se vedi $a - b = a + (-b)$ ti sei ricondotto ad una somma partendo da una sottrazione, e infatti sfrutti la commutatività della somma. Come dicevo prima questo si può sempre fare, da una sottrazione ci si può sempre ricondurre ad una somma algebrica, solo che io non direi (forse per un gusto personale) che somma algebrica e sottrazione sono esattamente la stessa cosa.
"Tipper":
Se vedi $a - b = a + (-b)$ ti sei ricondotto ad una somma partendo da una sottrazione, e infatti sfrutti la commutatività della somma. Come dicevo prima questo si può sempre fare, da una sottrazione ci si può sempre ricondurre ad una somma algebrica, solo che io non direi (forse per un gusto personale) che somma algebrica e sottrazione sono esattamente la stessa cosa.
ah, ok se è solo un gusto personale non ho niente da ridire
Nei campi le operazioni sono solo due: la somma ed il prodotto (operazioni binarie interne).
Se $a$ è un elemento di un campo $K$ (ad esempio $RR$ è un campo, con la somma ed il prodotto) allora $-a$ denota l'unico (dimostrare!) opposto di $a$.
Se $b,a in K$, si pone (nuovo simbolo) $b-a:=b+(-a)$. La differenza è definita a partire dalla somma e grazie all'esistenza dell'opposto.
Attenzione che $ZZ$ (con somma e prodotto) non è un campo perchè non esiste in $ZZ$ l'inverso di ogni numero naturale.
Tuttavia $ZZ$ con la somma è un gruppo, e per tale operazione vale quanto appena detto per i campi.
Del resto se $(K,+,*)$ è un campo, allora $(K,+)$ è un gruppo!
Se $a$ è un elemento di un campo $K$ (ad esempio $RR$ è un campo, con la somma ed il prodotto) allora $-a$ denota l'unico (dimostrare!) opposto di $a$.
Se $b,a in K$, si pone (nuovo simbolo) $b-a:=b+(-a)$. La differenza è definita a partire dalla somma e grazie all'esistenza dell'opposto.
Attenzione che $ZZ$ (con somma e prodotto) non è un campo perchè non esiste in $ZZ$ l'inverso di ogni numero naturale.
Tuttavia $ZZ$ con la somma è un gruppo, e per tale operazione vale quanto appena detto per i campi.
Del resto se $(K,+,*)$ è un campo, allora $(K,+)$ è un gruppo!
Volevo fare un pò di confusione:
Sospetto che in questi casi sia utile usare un segno differente per l'opposto e per la sottrazione.
Sospetto che in questi casi sia utile usare un segno differente per l'opposto e per la sottrazione.
Allora hai un problema: devi definire assiomaticamente la sottrazione. Non è per niente una mera questione di simboli.
A quali assiomi la sottoponi in modo che risponda alle richieste?
E attenzione alla compatibilità con gli assiomi che regolano gruppi e campi!
Decisamente questa scelta è sconveniente!!
Mi pare si stia facendo matematica un po'....a naso!
Le strutture algebriche sono "una cosa delicata"!!
A quali assiomi la sottoponi in modo che risponda alle richieste?
E attenzione alla compatibilità con gli assiomi che regolano gruppi e campi!
Decisamente questa scelta è sconveniente!!
Mi pare si stia facendo matematica un po'....a naso!
Le strutture algebriche sono "una cosa delicata"!!
"Russell":
Allora hai un problema: devi definire assiomaticamente la sottrazione. Non è per niente una mera questione di simboli.
A quali assiomi la sottoponi in modo che risponda alle richieste?
E attenzione alla compatibilità con gli assiomi che regolano gruppi e campi!
Decisamente questa scelta è sconveniente!!
Mi pare si stia facendo matematica un po'....a naso!
Le strutture algebriche sono "una cosa delicata"!!
probabile, forse certo, il fatto è che non ho la più pallida idea di che cosa sia un campo o un gruppo (sono in 1^ liceo), scusami se ho chiesto approposito di cose forse fuori dalla mia portata
NON DEVI scusarti!!!
La curiosità, oltre ad essere legittima, è la cosa più bella del mondo!
In breve il fatto è questo:
Le operazioni sono introdotte nell'istruzione in modo intuitivo fin dalla scuola elementare.
Alla scuola superiore si inizia ad affinare la questione ma ci si limita in genere ad evidenziare proprietà e soprattutto (cosa tra l'altro positiva) a formalizzarle con linguaggio matematico.
La verità è che l'intuizione in matematica non può essere la base teorica di nulla: ci sono gli assiomi (verità assunte per buone) dai quali si deducono teoremi e proposizioni varie.
Anche le operazioni hanno necessità di essere introdotte in modo compatibile con gli assiomi scelti.
Il mio "a naso" si riferiva alla possibilità di introdurre un nuovo simbolo, non alle tue legittime ed interessanti domande.
Ad essere precisi i simboli di "sottrazione" e di "opposto" hanno la stessa grafia ma sono diversi!
Il simbolo di sottrazione $-$ è binario con notazione infissa.
Il simbolo di opposto $-$ (stessa grafia) è unario con notazione prefissa.
Il fatto è che introdurre nuovi simboli o formalizzare matematicamente concetti presenti nella mente sono operazioni abbastanza sostanziose e di certo non sono decisioni da prendere alla leggera.
Gli studenti (come me, ad esempio) non sono in grado di valutare con precisione scelte di questo tipo. Credo però che lo stato attuale delle cose (intendo le teorie matematiche più diffuse) abbiano raggiunto una solidità difficile da mettere in discussione.
I primi passi nel mondo delle strutture algebriche non sono impossibili per uno studente motivato anche di 1^ liceo. Quindi il mio invito è: continua ad informarti ed a curiosare in giro.
Lo studio, anche a livelli semplici, di questi argomenti è molto utile per capire come funzionano le cose in matematica e soprattutto per rendersi conto che ci sono dei problemi con cui fare "i conti" anche e soprattutto sugli argomenti che all'apparenza sono i più banali (come le operazioni).
Io tentavo semplicemente di far capire che per parlare di matematica bisogna aver ben presente i fondamenti teorici sui quali si lavora o discute. Fino a quando non si ha una solida base (per "base" non si intende "esperienza" ma conoscenza delle "basi" della matematica) è rischioso fare "ricerca libera". E' più salutare tentare di consolidare le proprie conoscenze. Chiedere, come tu hai fatto, è il modo migliore.
Ricordo, per concludere, che anch'io (ed ero già in 5^ liceo!!) ero incuriosito dalle strutture algebriche. Ho trovato qualcuno che me ne ha dato un'idea e dapprima ne sono rimasto sconvolto!! Poi ci si accorge della necessità di certe scelte e, finalmente, si capisce!
Posso dirti, infine, che avere queste curiosità in 1^ liceo è davvero promettente!
"Sono stato spiegato?"
La curiosità, oltre ad essere legittima, è la cosa più bella del mondo!
In breve il fatto è questo:
Le operazioni sono introdotte nell'istruzione in modo intuitivo fin dalla scuola elementare.
Alla scuola superiore si inizia ad affinare la questione ma ci si limita in genere ad evidenziare proprietà e soprattutto (cosa tra l'altro positiva) a formalizzarle con linguaggio matematico.
La verità è che l'intuizione in matematica non può essere la base teorica di nulla: ci sono gli assiomi (verità assunte per buone) dai quali si deducono teoremi e proposizioni varie.
Anche le operazioni hanno necessità di essere introdotte in modo compatibile con gli assiomi scelti.
Il mio "a naso" si riferiva alla possibilità di introdurre un nuovo simbolo, non alle tue legittime ed interessanti domande.
Ad essere precisi i simboli di "sottrazione" e di "opposto" hanno la stessa grafia ma sono diversi!
Il simbolo di sottrazione $-$ è binario con notazione infissa.
Il simbolo di opposto $-$ (stessa grafia) è unario con notazione prefissa.
Il fatto è che introdurre nuovi simboli o formalizzare matematicamente concetti presenti nella mente sono operazioni abbastanza sostanziose e di certo non sono decisioni da prendere alla leggera.
Gli studenti (come me, ad esempio) non sono in grado di valutare con precisione scelte di questo tipo. Credo però che lo stato attuale delle cose (intendo le teorie matematiche più diffuse) abbiano raggiunto una solidità difficile da mettere in discussione.
I primi passi nel mondo delle strutture algebriche non sono impossibili per uno studente motivato anche di 1^ liceo. Quindi il mio invito è: continua ad informarti ed a curiosare in giro.
Lo studio, anche a livelli semplici, di questi argomenti è molto utile per capire come funzionano le cose in matematica e soprattutto per rendersi conto che ci sono dei problemi con cui fare "i conti" anche e soprattutto sugli argomenti che all'apparenza sono i più banali (come le operazioni).
Io tentavo semplicemente di far capire che per parlare di matematica bisogna aver ben presente i fondamenti teorici sui quali si lavora o discute. Fino a quando non si ha una solida base (per "base" non si intende "esperienza" ma conoscenza delle "basi" della matematica) è rischioso fare "ricerca libera". E' più salutare tentare di consolidare le proprie conoscenze. Chiedere, come tu hai fatto, è il modo migliore.
Ricordo, per concludere, che anch'io (ed ero già in 5^ liceo!!) ero incuriosito dalle strutture algebriche. Ho trovato qualcuno che me ne ha dato un'idea e dapprima ne sono rimasto sconvolto!! Poi ci si accorge della necessità di certe scelte e, finalmente, si capisce!
Posso dirti, infine, che avere queste curiosità in 1^ liceo è davvero promettente!
"Sono stato spiegato?"
"pippo93":
[quote="Tipper"]Ad esempio perché una è commutativa, l'altra no. Non è mica sempre vero che $a - b = b - a$.
ah ho capito,
però se vedi $a - b = b - a$ come $a+(-b)$ allora si che è commutativa, no? Non sono quindi la stessa cosa scritta in due modi diversi?[/quote]
Anche in quest'ottica la sottrazione non è commutativa.
Anche se la vedi come surrogato mistificato della somma con infiltrazione dell'opposto, la commutatività non c'è (in generale): $a-b=a+(-b)$ e $b-a=b+(-a)$ con $a+(-b) != b+(-a)$.
"Russell":
NON DEVI scusarti!!!
...
"Sono stato spiegato?"
Si, certo, sono consapevole che le mie supposizioni si basassero su intuizioni e non su ragionamenti un minimo rigorosi. Ma capirai che è il massimo che, io che ho preso da poco la licenza media, possa fare. E' probabile che io non abbia la più pallida idea di cosa sia veramente la matematica!
"pippo93":
..... E' probabile che io non abbia la più pallida idea di cosa sia veramente la matematica!
Questo è il presupposto giusto per iniziare ad interessarsene!!
"pippo93":
però se vedi $a - b = b - a$ come $a+(-b)$ allora si che è commutativa, no?
Certo, è commutativa nel senso che $a-b=a+(-b)=-b+a$. Non $a-b=b-a$, che è una scrittura vera solo se ci fossero i moduli $|a-b|=|b-a|$
Credo che il seguente link aiuterà a fare un po' di chiarezza...e soprattutto a spiegare perchè ha poco senso parlare di sottrazione come operazione, quando abbiamo la somma!!
Tra parentesi, la sottrazione (come pensata di solito) non è nemmeno una operazione interna ad $NN$
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottrazione
Tra parentesi, la sottrazione (come pensata di solito) non è nemmeno una operazione interna ad $NN$
http://it.wikipedia.org/wiki/Sottrazione
"elios":
Certo, è commutativa nel senso che $a-b=a+(-b)=-b+a$
C'è un solo "senso" di essere commutativa, ed in quel senso la sottrazione non lo è (consultate il link).
La commutatività cui ti riferisci appartiene alla somma e solo alla somma.
Non bisogna confondere l'operazione con l'operatore e viceversa come è stato fatto diverse volte: che i numeri possono essere positivi o negativi è chiaro ed in quel caso il segno è una "caratteristica" del numero; altra cosa è invece l'operazione che con essi viene compiuta: l'addizione (commutativa) o la sottrazione (non commutativa).
Il fatto che si possa ottenere un risultato identico cambiando operazione ed operatore è ovvio, avviene anche nella moltiplicazione/divisione e in infinite altre.
Se si afferma che a-b = a+(-b) a dimostrazione di una qualche proprietà dell'operazione si fa una affermazione gratuita e priva di un reale significato matematico, sarebbe come dire che 5+3=2x4.
Il fatto che si possa ottenere un risultato identico cambiando operazione ed operatore è ovvio, avviene anche nella moltiplicazione/divisione e in infinite altre.
Se si afferma che a-b = a+(-b) a dimostrazione di una qualche proprietà dell'operazione si fa una affermazione gratuita e priva di un reale significato matematico, sarebbe come dire che 5+3=2x4.
Personalmente io non ho mai visto la sottrazione come una operazione vera e propria.
Per quello che so (molto molto poco) una operazione in un insieme $S$ è un'applicazione $f : S \times S \to S$: in questo senso la sottrazione non è una operazione in $NN$ per il semplice fatto che non tutte le coppie di $NN \times NN$ hanno il corrispondente in $NN$.
La sottrazione diviene una operazione in $ZZ$ e quì ho sempre definito la differenza come somma con un opposto, cioè ho sempre usato il segno di opposto e il segno di somma per definire il segno di sottrazione (cosa che abbiamo fatto all'Università in questo primo corso di Algebra - premetto che gruppi, anelli, campi e compagnia bella li faremo a partire da Marzo, quindi...)
Per quello che so (molto molto poco) una operazione in un insieme $S$ è un'applicazione $f : S \times S \to S$: in questo senso la sottrazione non è una operazione in $NN$ per il semplice fatto che non tutte le coppie di $NN \times NN$ hanno il corrispondente in $NN$.
La sottrazione diviene una operazione in $ZZ$ e quì ho sempre definito la differenza come somma con un opposto, cioè ho sempre usato il segno di opposto e il segno di somma per definire il segno di sottrazione (cosa che abbiamo fatto all'Università in questo primo corso di Algebra - premetto che gruppi, anelli, campi e compagnia bella li faremo a partire da Marzo, quindi...)
Amandy dice bene!!
$a-b=a+(-b)$ non è un'affermazione, è la definizione di un NUOVO simbolo (binario con notaziona infissa)
$a-b=a+(-b)$ non è un'affermazione, è la definizione di un NUOVO simbolo (binario con notaziona infissa)
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