Divisione tra due polinomi

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti,
ho letto molti testi scolastici e siti web che trattano il problema della divisione tra due polinomi, ma non ne ho mai trovato uno che, ad esempio, ha creato uno schema per ricordarsi quando è possibile o meno fare la divisione, e quali differenti casi si possono incontrare. Allora ho deciso di crearne uno io . Vorrei sapere da voi se quello che ho fatto è corretto, o se manca qualcosa!

1° caso: grado($A(x)$)$\geq$grado($B(x)$)
- se $R(x) = 0$, allora si tratta di una divisione esatta, dove $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$
- se $R(x) \ne 0$, allora si tratta di una divisione con resto, dove $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$

2° caso: grado($A(x)$)$<$grado($B(x)$)
Non è possibile eseguire la divisione tra i due polinomi. Si ottiene perciò una frazione algebrica, $\frac{A(x)}{B(x)}$.
[size=85]
$A(x)$ = dividendo, $B(x)$ = divisore, $Q(x)$ = quoziente e $R(x)$ = resto.[/size]

[piero_1]

Nel caso in cui il dividendo sia di grado minore del divisore, si avrà zero (polinomio identicamente nullo) come quoziente e il polinomio dividendo come resto.

[Sk_Anonymous]

"piero_":Nel caso in cui il dividendo sia di grado minore del divisore, si avrà zero (polinomio identicamente nullo) come quoziente e il polinomio dividendo come resto.

In effetti hai ragione, nella tabella è più corretto inserire il tuo ragionamento. Però nella "realtà", ad esempio in un problema matematico in cui appare un polinomio che appartiene al 2° caso da me descritto, concordi anche tu che dobbiamo lasciare la frazione algebrica? Perché, tradotto in simboli, quello che dici tu equivale a:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) = B(x) \cdot 0 + R(x) = R(x)$
Perciò non otteniamo un "vero e proprio" quoziente come nel 1° caso, ma:
$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{R(x)}{B(x)}$
Praticamente alla fine avremo la stessa frazione che avevamo all'inizio, visto che $A(x) = R(x)$.

[axpgn]

"Operativamente" va bene ma formalmente non esistono due casi, la divisione è sempre quella ... (e secondo me è inutile distinguerli ...)

[@melia]

Oppure possiamo dire che
$(A(x))/(B(x)) = Q(x) +(R(x))/(B(x))$, quando (grado A) < (grado B) allora $Q(x)=0$

[Sk_Anonymous]

Il mio obbiettivo era quello di dire che, nella "pratica", se ci imbattiamo in una divisione tra due polinomi dove il grado del dividendo è minore del grado del divisore "non possiamo fare niente", perché il fatto che il quoziente sia nullo e che il resto sia uguale al polinomio dividendo ci fa scrivere di nuovo la stessa frazione algebrica da cui siamo partiti... Perciò non possiamo "semplificarci" il lavoro (come succederebbe nel 1° caso da me descritto).
Chiaramente se la domanda di un problema fosse quella di trovare il quoziente e il resto di una divisione del genere, allora bisogna indicare $Q(x) = 0$ e $R(x) = \text{polinomio dividendo}$, in quanto si tratta della soluzione "formale".