Divisibilita'
Trovare la condizione necessaria e sufficiente
perche' x^3+y^3+z^3+kxyz sia divisibile per x+y+z.
karl.
perche' x^3+y^3+z^3+kxyz sia divisibile per x+y+z.
karl.
Risposte
ciao karl,
ti do intanto la condizione sufficiente, mentre rifletto su quella necessaria; per k=3 vale la seguente identità:
x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz = (x + y + z)(x^2 - xy + y^2 - xz + z^2 - yz)
che puoi facilmente verificare con il calcolo; e il secondo membro è divisibile ovviamente per x + y + z.
sto provando a vedere se tale condizione è necessaria, ma la tarda ora e la lunghezza dei calcoli mi stanno "impicciando"; comunque ti farò sapere.
saluti
ti do intanto la condizione sufficiente, mentre rifletto su quella necessaria; per k=3 vale la seguente identità:
x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz = (x + y + z)(x^2 - xy + y^2 - xz + z^2 - yz)
che puoi facilmente verificare con il calcolo; e il secondo membro è divisibile ovviamente per x + y + z.
sto provando a vedere se tale condizione è necessaria, ma la tarda ora e la lunghezza dei calcoli mi stanno "impicciando"; comunque ti farò sapere.
saluti
ti informo che ho sbagliato a copiare dagli appunti:
la condizione sufficiente, di cui sopra, si ha per k = -3; l'identità è la stessa tranne per il fatto che ci va -3xyz al posto di 3xyz.
credo anche che tale condizione sia necessaria, ma non so dimostrarlo: ti spiego il mio ragionamento intuitivo:
partendo dal fatto che devo raccogliere x + y + z, al secondo fattore ho necessariamente gli addendi x^2, y^2, z^2, i quali generano altri addendi del tipo yx^2 e via dicendo, i quali devo però annullare mettendo nel secondo fattore gli addendi -xy e via dicendo, i quali a loro volta generano un -3xyz (d'altronde questo è il ragionamento che ho fatto per costruire quell'identità); il fatto è che questo ragionamento è unico, ossia, quando "decido" di raccogliere x+y+z le altre scelte sono obbligate! tuttavia, non essendo, quella che ho appena fatto, una dimostrazione matematica sono il primo a non credervi con certezza.
ti risaluto, ubermensch
la condizione sufficiente, di cui sopra, si ha per k = -3; l'identità è la stessa tranne per il fatto che ci va -3xyz al posto di 3xyz.
credo anche che tale condizione sia necessaria, ma non so dimostrarlo: ti spiego il mio ragionamento intuitivo:
partendo dal fatto che devo raccogliere x + y + z, al secondo fattore ho necessariamente gli addendi x^2, y^2, z^2, i quali generano altri addendi del tipo yx^2 e via dicendo, i quali devo però annullare mettendo nel secondo fattore gli addendi -xy e via dicendo, i quali a loro volta generano un -3xyz (d'altronde questo è il ragionamento che ho fatto per costruire quell'identità); il fatto è che questo ragionamento è unico, ossia, quando "decido" di raccogliere x+y+z le altre scelte sono obbligate! tuttavia, non essendo, quella che ho appena fatto, una dimostrazione matematica sono il primo a non credervi con certezza.
ti risaluto, ubermensch
Effettivamente k=-3 e' il risultato giusto.
La condizione necessaria e sufficiente puo',forse,trovarsi
ordinando (ad es.) il polinomio rispetto alla variabile x
e poi imponendo che esso sia divisibile per x+a ,dove a
in questo caso e' y+z.
Saluti da karl.
La condizione necessaria e sufficiente puo',forse,trovarsi
ordinando (ad es.) il polinomio rispetto alla variabile x
e poi imponendo che esso sia divisibile per x+a ,dove a
in questo caso e' y+z.
Saluti da karl.
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