Dividere membro a membro: sistemi di 2 equaz. in 2 incognite

[vitoge478]

Qualcuno potrebbe spiegarmi perchè, quando si ha un sitema di 2 equazioni in 2 incognite, dividendo membro a membro si riesce (in alcuni casi) a calcolare una incognita?

Cioè, qual è il teorema che garantisce che con questa divisione non vengano fuori "pasticci"?
Ho trovato questa discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=115101
ma non capisco il senso della risposta perchè si parla della divisione per una stessa quantità che non mi sembra il caso della divisione membro a membro.

[axpgn]

Non è altro che uno dei principi di equivalenza delle equazioni cioè puoi moltiplicare ambo i membri di una data equazione per lo stesso numero, purché diverso da zero, e l'equazione che ottieni è equivalente a quella originaria cioè ha le stesse soluzioni.


Cordialmente, Alex

[vitoge478]

Alex ti ringrazio per la risposta ma il dubbio che ho è questo:
supponiamo di avere un sistema con 2 equazioni che chiamo, equazione 1 ed equzione 2;
supponiamo di dividere, membro a membro, l'eq. 1 diviso l'eq. 2

Come faccio a sapere che il primo mebro dell'eq. 2 è uguale al secondo membro (sempre dell'eq.2) così da avere quello che tu dici, cioè la divisione per uno stesso numero?

[axpgn]

Per i valori per i quali l'equazione è soddisfatta (ovvero "le soluzioni") l'equazione diventa un'uguaglianza quindi i due membri sono uguali alias lo stesso numero.

[vitoge478]

"axpgn":Per i valori per i quali l'equazione è soddisfatta (ovvero "le soluzioni") l'equazione diventa un'uguaglianza quindi i due membri sono uguali alias lo stesso numero.

E come faccio a sapere (a priori) che l'equazione ha soluzioni e che quindi ci sono dei numeri che rendono il I membro uguale al II membro?

[anonymous_0b37e9]

"franco11":
... qual è il teorema che garantisce che, con questa divisione, non vengano fuori "pasticci"?

Semplicemente, l'implicazione sottostante:

$[A_1(x,y)=B_1(x.y)] ^^ [A_2(x,y)=B_2(x,y)] rarr [(A_1(x,y))/(A_2(x,y))=(B_1(x,y))/(B_2(x,y))]$

a patto che:

$[A_2(x,y) ne 0] ^^ [B_2(x,y) ne 0]$