Diveritevi
il fatto che una funzione f sia asintotica a g coimplica che f-g tenda a 0?
Se una funzione f(x) ha un asintoto del tipo y=ax+b, allora è vero che df/dx tende ad a?
pensateci!
Se una funzione f(x) ha un asintoto del tipo y=ax+b, allora è vero che df/dx tende ad a?
pensateci!
Risposte
difatti quando si ha A/inf nessuno utilizza de l'hopital.. però è carino sapere che concettualmente la cosa funziona lo stesso..
Certe sottigliezze vanno imparate, anche per quelli di campagna, come ad esempio me stesso.
Anzitutto chiarisco che se il limite si presenta nella forma f(x)/g(x) con g che tende a +/- infinito, mentre f e' limitata (quindi ad esempio tende ad una costante...) allora subito il limite e' 0, senza usare De l'Hospital.
Propongo poi il seguente esercizio, di cui do' la soluzione, per mostrare un'applicazione della vera versione del Teorema di De l'Hospital.
Sia f una funzione reale, continua in [0,1] e derivabile in (0,1]. Supponiamo che xf'(x) tenda a b per x che tende a 0+. Dimostrare che b=0.
Soluzione: Per ipotesi esiste il limite di f'(x)/(1/x); allora, per il Teorema di De l'Hospital esiste anche il limite di f(x)/log(x), che e' 0 poiche' f e' continua in 0 e log(x) tende a -infinito. Da cui b=0.
Credo e spero di aver chiarito l'enunciato del piu' generale Teorema di De l'Hospital, e credo di aver mostrato un'applicazione.
Luca.
Anzitutto chiarisco che se il limite si presenta nella forma f(x)/g(x) con g che tende a +/- infinito, mentre f e' limitata (quindi ad esempio tende ad una costante...) allora subito il limite e' 0, senza usare De l'Hospital.
Propongo poi il seguente esercizio, di cui do' la soluzione, per mostrare un'applicazione della vera versione del Teorema di De l'Hospital.
Sia f una funzione reale, continua in [0,1] e derivabile in (0,1]. Supponiamo che xf'(x) tenda a b per x che tende a 0+. Dimostrare che b=0.
Soluzione: Per ipotesi esiste il limite di f'(x)/(1/x); allora, per il Teorema di De l'Hospital esiste anche il limite di f(x)/log(x), che e' 0 poiche' f e' continua in 0 e log(x) tende a -infinito. Da cui b=0.
Credo e spero di aver chiarito l'enunciato del piu' generale Teorema di De l'Hospital, e credo di aver mostrato un'applicazione.
Luca.
Trovo l'esercizio molto bello ed elegante ; si poteva arrivare alla stessa conclusione, cioè b=0, anche ricordando che il limite del prodotto di due funzioni di cui una tendente a 0 e l'altra limitata vale 0.
T.de l'Hopital . Ritorno al caso A /inf con A qualunque diverso da inf.
E'vero:il Teorema si applica anche in questo caso in quanto, come fa notare il Pagani-Salsa,"per i più curiosi",dalla dimostrazione del T. si ricava che se il denominatore tende a inf , il T. vale anche senza l'ipotesi che il numeratore tenda a +- inf e cioè che ci sia effettivamente una forma di indecisione.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 24/04/2004 13:43:17
T.de l'Hopital . Ritorno al caso A /inf con A qualunque diverso da inf.
E'vero:il Teorema si applica anche in questo caso in quanto, come fa notare il Pagani-Salsa,"per i più curiosi",dalla dimostrazione del T. si ricava che se il denominatore tende a inf , il T. vale anche senza l'ipotesi che il numeratore tenda a +- inf e cioè che ci sia effettivamente una forma di indecisione.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 24/04/2004 13:43:17
Interessante vedere come sinh(x) si avvicini all'infinito a cosh(x).
Forse è l'unico caso in cui la derivata f' di una funzione f
sia asintotica ad f !
Forse è l'unico caso in cui la derivata f' di una funzione f
sia asintotica ad f !
in pratica tu sostieni che forse f(x)=sinh(x) è l'unica funzione tale per cui 
f(x)/f'(x)=1 (o costante positiva). Anche e^x lo fa. Forse, se si riuscisse a formulare il quesito sottoforma di equazione si potrebbe dare 1 risposta + precisa...
f(x)/f'(x)=1 (o costante positiva). Anche e^x lo fa. Forse, se si riuscisse a formulare il quesito sottoforma di equazione si potrebbe dare 1 risposta + precisa...
No, non intendo che sinh(x) sia l'unica funzione per la quale
f(x)/f'(x) = 1. Quello che voglio dire io è che sinh(x)
è asintoto di cosh(x) ! Ovvero la derivata di una funzione è asintoto
della funzione stessa! È vero che: e^x/f'(e^x) = 1, però la derivata
di e^x è sempre e^x, mentre la derivata di cosh(x) non è uguale a cosh(x) !
f(x)/f'(x) = 1. Quello che voglio dire io è che sinh(x)è asintoto di cosh(x) ! Ovvero la derivata di una funzione è asintoto
della funzione stessa! È vero che:
e^x/f'(e^x) = 1, però la derivatadi e^x è sempre e^x, mentre la derivata di cosh(x) non è uguale a cosh(x) !
citazione:
Quello che voglio dire io è che sinh(x)
è asintoto di cosh(x) ! Ovvero la derivata di una funzione è asintoto
della funzione stessa!
Appunto. per me "essere asintoto di" equivale a quel limite. Non ti capisco fireball, per te cosa significa "essere asintotico a"?
Vedo che non mi sono spiegato.
Diciamo che e^x è asintotica alla sua derivata. Ma la sua
derivata è ancora e^x, dunque la funzione è, come dire,
'asintotica a sé stessa'! Invece cosh(x) non ha derivata
uguale a cosh(x), ma a sinh(x), quindi mi sembra che sia
l'unica funzione che si avvicini all'infinito alla sua derivata,
che è diversa dalla funzione iniziale! Chiaro ciò che intendo?
Modificato da - fireball il 02/05/2004 16:32:37
Diciamo che e^x è asintotica alla sua derivata. Ma la sua
derivata è ancora e^x, dunque la funzione è, come dire,
'asintotica a sé stessa'! Invece cosh(x) non ha derivata
uguale a cosh(x), ma a sinh(x), quindi mi sembra che sia
l'unica funzione che si avvicini all'infinito alla sua derivata,
che è diversa dalla funzione iniziale! Chiaro ciò che intendo?
Modificato da - fireball il 02/05/2004 16:32:37
ok, afferrato.
Se tu imposti un'equazione del tipo
y-y'=g(x),
dove g(x) è infinifesimo per x->+infty, allora per ogni g esisterà un integrale generale dell'equazione, e dunque un'intera classe di funzioni che si avvicinano sempre di più alla loro derivata. Tu scegli la velocità di avvicinamento reciproco (l'ordine di infinitesimo di g) e io ti do un'intera classe di funzioni!
sinh e cosh si avvicinano con una differenza dell'ordine di infinitesimo e^(-x)
Se tu imposti un'equazione del tipo
y-y'=g(x),
dove g(x) è infinifesimo per x->+infty, allora per ogni g esisterà un integrale generale dell'equazione, e dunque un'intera classe di funzioni che si avvicinano sempre di più alla loro derivata. Tu scegli la velocità di avvicinamento reciproco (l'ordine di infinitesimo di g) e io ti do un'intera classe di funzioni!
sinh e cosh si avvicinano con una differenza dell'ordine di infinitesimo e^(-x)
Davvero interessante!
e se tu imposti
y/y'=1+g(x)
con la stessa simbologia di prima, hai una famiglia di funzioni asintotiche alle loro derivata al variare dell'infinitesimo g
con la stessa simbologia di prima, hai una famiglia di funzioni asintotiche alle loro derivata al variare dell'infinitesimo g
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