Diveritevi
il fatto che una funzione f sia asintotica a g coimplica che f-g tenda a 0?
Se una funzione f(x) ha un asintoto del tipo y=ax+b, allora è vero che df/dx tende ad a?
pensateci!
Se una funzione f(x) ha un asintoto del tipo y=ax+b, allora è vero che df/dx tende ad a?
pensateci!
Risposte
I due fatti che enunciavi sono entrambi falsi; il primo ha un controesempio semplicissimo: la funzione f(x)=x^2+x e' asintotica a x^2 per x che tende a +\infty. Ma x^2+x-x^2=x, che non tende certo a 0.
Il secondo e' piu' delicato. Per semplicita', supponi a=0; prova a costruire una funzione che ha un asintoto orizzontale, ma ci tende facendo una successione di triangoli (magari smussandoli, per avere quindi la derivabilita'...); allora e' facile far si' che la derivata non abbia limite, se i lati dei triangoli si impennanno sempre piu' con x che va a +\infty. Stessa costruzione per l'asintoto obliquo.
Luca.
Il secondo e' piu' delicato. Per semplicita', supponi a=0; prova a costruire una funzione che ha un asintoto orizzontale, ma ci tende facendo una successione di triangoli (magari smussandoli, per avere quindi la derivabilita'...); allora e' facile far si' che la derivata non abbia limite, se i lati dei triangoli si impennanno sempre piu' con x che va a +\infty. Stessa costruzione per l'asintoto obliquo.
Luca.
io avevo ragionato così: se f(x) ha un asintoto obliquo per x->+infty, allora f(x) tende a + infty, e quindi siccome il limite f(x)/x è una forma indeterminata +infty/+infty, posso derivare denom e numer ottenendo f'(x), che tende allo stesso limite di f/x che è a, purchè a>0. dove ho sbagliato?
Sbagli nell'applicazione del Teorema di De L'hospital: il Teorema ti dice che SE esiste il limite di f'(x), ALLORA esiste anche il limite di f(x)/x, e i due limiti sono uguali.
Tu hai usato il viceversa, che non e' vero. Infatti il controesempio fa cadere l'esistenza del limite della derivata...
Ciao, Luca.
Tu hai usato il viceversa, che non e' vero. Infatti il controesempio fa cadere l'esistenza del limite della derivata...
Ciao, Luca.
ah, capito. Grazie!
ehi legolas; forse questo topic era meglio aprirlo in "università"!
p.s. strano che il primo enunciato sia falso!! non ci ho ragionato, ma, intuitivamente, pare impeccabile!! magie della matematica!
ciao, ubermensch
p.s. strano che il primo enunciato sia falso!! non ci ho ragionato, ma, intuitivamente, pare impeccabile!! magie della matematica!
ciao, ubermensch
Adesso non ricordo bene la definizione di funzioni asintotiche, perchè di solito nelle applicazioni di matematica alle superiori si parla di asintoti abliqui rispetto alle rette che come è ben noto sono funzioni di I grado.
Secondo me una funzione è asintotica nel momento in cui si avvicina sempre più ad un altra senza mai toccarla. Questo modo di vedere la cosa dovrebbe avere come definizione di funzione asintotica la seguente:
due funzioni sono asintotiche quando il lim per x che tende a oo della differenza di due funzioni tende a 0.
Su questo potrei anche sbagliare, magari se nei vostri libri delle superiori ne cercate la definizione precisa tutto potrebbe diventare più semplice.
Non sono d'accordo con Luca77, infatti x^2+x e x^2 non sono funzioni asintotiche e quindi come controesempio non vale, inoltre anche per quanto riguardas il teorema di De L'Hospital, a mio parere si può usarlo a ritroso... se f'(x)/g'(x) tendono per x che tende a oo ad un limite noto, anche f(x)/g(x) tendono allo stesso limite a patto che sia f(x) che g(x) tendano entrambe a 0 o a oo, cioè basta che il loro rapporto produca una forma indeterminate per la quale sia possibile applicare il teorema.
Ciao, by Claudio
Secondo me una funzione è asintotica nel momento in cui si avvicina sempre più ad un altra senza mai toccarla. Questo modo di vedere la cosa dovrebbe avere come definizione di funzione asintotica la seguente:
due funzioni sono asintotiche quando il lim per x che tende a oo della differenza di due funzioni tende a 0.
Su questo potrei anche sbagliare, magari se nei vostri libri delle superiori ne cercate la definizione precisa tutto potrebbe diventare più semplice.
Non sono d'accordo con Luca77, infatti x^2+x e x^2 non sono funzioni asintotiche e quindi come controesempio non vale, inoltre anche per quanto riguardas il teorema di De L'Hospital, a mio parere si può usarlo a ritroso... se f'(x)/g'(x) tendono per x che tende a oo ad un limite noto, anche f(x)/g(x) tendono allo stesso limite a patto che sia f(x) che g(x) tendano entrambe a 0 o a oo, cioè basta che il loro rapporto produca una forma indeterminate per la quale sia possibile applicare il teorema.
Ciao, by Claudio
Allora, mi pare di capire che c'e' un po' di confusione. Anzitutto la definizione corretta di funzioni asintotiche e' questa: due funzioni f e g sono asintotiche per x che tende a c (finito o piu'/meno infinito) se il limite del loro rapporto e' un numero reale non nullo. Per cui il mio controesempio e' corretto.
Il Teorema di De l'Hospital non funziona al contario. Ad esempio, se io prendo f(x)=sin(x) e g(x)=x, allora la forma f/g verifica le ipotesi del Teorema di De l'Hospital (infatti f/g deve essere 0/0 oppure ?/+infinito, dove ? sta per qulasiasi cosa) per x che tende a +infinito. Il limite di f/g e' 0, mentre il limite di f'/g' non esiste.
MI sembra che tutto torni, no?
Luca.
Il Teorema di De l'Hospital non funziona al contario. Ad esempio, se io prendo f(x)=sin(x) e g(x)=x, allora la forma f/g verifica le ipotesi del Teorema di De l'Hospital (infatti f/g deve essere 0/0 oppure ?/+infinito, dove ? sta per qulasiasi cosa) per x che tende a +infinito. Il limite di f/g e' 0, mentre il limite di f'/g' non esiste.
MI sembra che tutto torni, no?
Luca.
E' vero che l'Hospital non (sempre) funziona
al contrario,ma l'esempio di Luca77 non e' il piu'
appropriato.Infatti lim[sin(x)/x]=0 per x-->inf
e non si presenta la forma inderminata come
si richiede per poter applicare l'Hospital.
Un esempio piu' calzante e' il seguente:
Lim[(x-sin(x))/(x+sin(x))] per x-->inf.
karl.
al contrario,ma l'esempio di Luca77 non e' il piu'
appropriato.Infatti lim[sin(x)/x]=0 per x-->inf
e non si presenta la forma inderminata come
si richiede per poter applicare l'Hospital.
Un esempio piu' calzante e' il seguente:
Lim[(x-sin(x))/(x+sin(x))] per x-->inf.
karl.
Il Teorema di De l'Hospital, nella sua versione piu' generale possibile, si applica alle forme 0/0 ed alle forme .../+\infty e .../-infty, dove i puntini stanno per qualsiasi cosa.
Di conseguenza, ritengo che il mio controesempio sia corretto.
Luca.
Di conseguenza, ritengo che il mio controesempio sia corretto.
Luca.
Sinceramente e' la prima volta che sento dire
che L'Hospital si applica anche a forme del tipo
A/inf con A finito (come nel caso di sin(x)/x
per x-->inf).Se e' cosi ringrazio Luca77 per
la preziosa informazione (sai, la mia laurea
risale a qualche decina di anni fa e le cose
possono cambiare ...anche in matematica).
Non per sfiducia ,ma qualche altro,per es.Uber,
mi puo' dare conferma di questo ,per me,strano
caso.
Saluti da karl.
che L'Hospital si applica anche a forme del tipo
A/inf con A finito (come nel caso di sin(x)/x
per x-->inf).Se e' cosi ringrazio Luca77 per
la preziosa informazione (sai, la mia laurea
risale a qualche decina di anni fa e le cose
possono cambiare ...anche in matematica).
Non per sfiducia ,ma qualche altro,per es.Uber,
mi puo' dare conferma di questo ,per me,strano
caso.
Saluti da karl.
Se la definizione di funzioni asintotiche è questa allora sono d'accordo con te Luca77, ma secondo me la richiesta di Legolas87 era un po' diversa... nel suo post lui parla di asintoto ad una funzione.
Io credo, intuitivamente, che se due funzioni sono asintotiche, secondo la definizione che hai proposto, non è detto che l'una sia asintoto dell'altra nel classico intendere di analisi1. Un asintoto è una retta che si avvicina sempre più ad una funzione per x che tente a inf (che secondo me potrebbe essere generalizzato anche per le parabole o le cubiche, anche se non lo ho mai trovato nei testi), mentre funzioni asintotiche sono quelle che hanno lo stesso comportamento, anche se sono molto distanti tra loro.
Per quanto riguarda il controesempio che hai portato per il "teorema De L'Hopital al contrario", non ne sono ancora molto convinto. Devo pensarci.
Non vedo però l'esigenza di applicare l'Hopital nel caso delle forme del tipo a/inf, perchè fa sicuramente 0 in quanto è una forma determinata.
Ringrazio tutti per la discussione, mi fa piacere confrontarmi con altre persone.
Ciao, by Claudio
Io credo, intuitivamente, che se due funzioni sono asintotiche, secondo la definizione che hai proposto, non è detto che l'una sia asintoto dell'altra nel classico intendere di analisi1. Un asintoto è una retta che si avvicina sempre più ad una funzione per x che tente a inf (che secondo me potrebbe essere generalizzato anche per le parabole o le cubiche, anche se non lo ho mai trovato nei testi), mentre funzioni asintotiche sono quelle che hanno lo stesso comportamento, anche se sono molto distanti tra loro.
Per quanto riguarda il controesempio che hai portato per il "teorema De L'Hopital al contrario", non ne sono ancora molto convinto. Devo pensarci.
Non vedo però l'esigenza di applicare l'Hopital nel caso delle forme del tipo a/inf, perchè fa sicuramente 0 in quanto è una forma determinata.
Ringrazio tutti per la discussione, mi fa piacere confrontarmi con altre persone.
Ciao, by Claudio
da quello che io so il th di De L'Hopital si può utilizzare per x che tende a qualunqua cosa e su forme indeterminate del tipo 0/0 e inf/inf; inoltre,in generale, non può essere usato al contrario,
non concordo sulla interpretazione di Claudio del th di De L'Hopital a ritroso; quello che ha scritto lui è l'enunciato di de l'hopital al dritto; il problema e che se sappiamo che esiste il limite di f'/g' tuttavia non abbiamo alcun modo per predire cosa facciano f e g se non integrandole, arrivando ad usare poi de l'hopital al dritto.
Riguardo alla definizione di due funzioni asintotiche concordo sul fatto che il limite del rapporto deve essere finito e non nullo, anche se inizialmente mi ero sbagliato anche io, perchè pensavo che dovesse essere 1, da qui la mia osservazione scorretta fatta precedentemente.
ciao, ubermensch
Modificato da - ubermensch il 20/04/2004 11:02:22
non concordo sulla interpretazione di Claudio del th di De L'Hopital a ritroso; quello che ha scritto lui è l'enunciato di de l'hopital al dritto; il problema e che se sappiamo che esiste il limite di f'/g' tuttavia non abbiamo alcun modo per predire cosa facciano f e g se non integrandole, arrivando ad usare poi de l'hopital al dritto.
Riguardo alla definizione di due funzioni asintotiche concordo sul fatto che il limite del rapporto deve essere finito e non nullo, anche se inizialmente mi ero sbagliato anche io, perchè pensavo che dovesse essere 1, da qui la mia osservazione scorretta fatta precedentemente.
ciao, ubermensch
Modificato da - ubermensch il 20/04/2004 11:02:22
l'hospital vale anche per A/infty (cfr. Pagani-Salsa vol I p. 306).
Io per il primo enunciato ho ragionato con le funzioni f=4x g=3x. La loro differenza tende a 0 ma nn sono asintotiche per x tendente a 0. poi, x+1 e x sono asintotiche per x->+infty ma la loro differenza tende a 1!
Se ho ben capito, SE esiste il limite di f' per x->+infty, allora è uguale ad a (pendenza dell'asintoto). Scusate se ho aperto questo topic in questa sezione, ma credevo che fossero cose che si studiano ancora alle superiori.
a luca77: io sapevo che f e g sono asintotiche se il loro rapporto per x tendente a x_0 è 1
Modificato da - legolas87 il 20/04/2004 19:03:54
Io per il primo enunciato ho ragionato con le funzioni f=4x g=3x. La loro differenza tende a 0 ma nn sono asintotiche per x tendente a 0. poi, x+1 e x sono asintotiche per x->+infty ma la loro differenza tende a 1!
Se ho ben capito, SE esiste il limite di f' per x->+infty, allora è uguale ad a (pendenza dell'asintoto). Scusate se ho aperto questo topic in questa sezione, ma credevo che fossero cose che si studiano ancora alle superiori.
a luca77: io sapevo che f e g sono asintotiche se il loro rapporto per x tendente a x_0 è 1
Modificato da - legolas87 il 20/04/2004 19:03:54
a crsclaudio: ad esempio, (a proposito di asintoti non rettilinei) 1/2*exp(x) è asintoto per sinh(x) e cosh(x)
Una formulazione corretta e credo, completa della regola (o teorema??
chi lo chiama in un modo, chi nell'altro ....)di De l'Hopital è :
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) [1].
Il punto limite in [1] può essere sia al finito che all'infinito.
Le IPOTESI sotto cui vale la formula [1 ] sono :
1. f e g definite e continue in un intorno del punto limite, tranne
al più che nel punto limite stesso.
2. lim f(x) = lim g(x) = 0 oppure lim f(x) = lim g(x) =+/- infinito.
3. f e g derivabili in un intorno del punto limite, tranne al più che
nel punto limite stesso.
4. g' non si annulla mai in un intorno del punto limite.
5. lim f'(x)/g'(x) esiste (finito o infinito).
L'ipotesi sostanziale è la 5.Per poter applicare la formula [1] e
concludere che il valore del limite a primo membro sia uguale a
quello del secondo membro, è essenziale che questo secondo limite
esista.
Ecco un controesempio:
lim per x che tende a 0 di : f(x)/g(x)= lim per x che tende a 0 di :
x^2*sin(1/x)/x = [0/0] = lim per x che tende a 0 di : x*sin(1/x) = 0
(prodotto di una funzione che tende a 0 per una limitata), mentre il
limite :
limite per x che tende a 0 di : f'(x)/g'(x)= limite per x che tende a
0 di : [2xsin(1/x) -cos(1/x)] / 1 non esiste nè finito , nè infinito.
Per Legolas : a me risulta che f e g siano asintotiche se lim per x che tende a x0 di : f/g = l (elle ) diverso da 0 , ma non necessariamente uguale a : 1.
chi lo chiama in un modo, chi nell'altro ....)di De l'Hopital è :
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) [1].
Il punto limite in [1] può essere sia al finito che all'infinito.
Le IPOTESI sotto cui vale la formula [1 ] sono :
1. f e g definite e continue in un intorno del punto limite, tranne
al più che nel punto limite stesso.
2. lim f(x) = lim g(x) = 0 oppure lim f(x) = lim g(x) =+/- infinito.
3. f e g derivabili in un intorno del punto limite, tranne al più che
nel punto limite stesso.
4. g' non si annulla mai in un intorno del punto limite.
5. lim f'(x)/g'(x) esiste (finito o infinito).
L'ipotesi sostanziale è la 5.Per poter applicare la formula [1] e
concludere che il valore del limite a primo membro sia uguale a
quello del secondo membro, è essenziale che questo secondo limite
esista.
Ecco un controesempio:
lim per x che tende a 0 di : f(x)/g(x)= lim per x che tende a 0 di :
x^2*sin(1/x)/x = [0/0] = lim per x che tende a 0 di : x*sin(1/x) = 0
(prodotto di una funzione che tende a 0 per una limitata), mentre il
limite :
limite per x che tende a 0 di : f'(x)/g'(x)= limite per x che tende a
0 di : [2xsin(1/x) -cos(1/x)] / 1 non esiste nè finito , nè infinito.
Per Legolas : a me risulta che f e g siano asintotiche se lim per x che tende a x0 di : f/g = l (elle ) diverso da 0 , ma non necessariamente uguale a : 1.
io ho trovato la definizione sempre sul Pagani-Salsa. Credo che la metta così perchè si può definire una realzione di equivalenza tra funzioni asintotiche per x->x_0
Rispondo a Camillo, sperando di chiarire le questione: il Th di De l'Hospital vale nelle condizioni scritte, a meno di cambiare la forma inf/inf in "qualsiasi cosa/inf": cercate su testi di Analisi I tale teorema: vedrete che lo trovate in questa forma generale.
Se poi, io definisco asintotiche f e g quando f-g tende a o, purtroppo questa definizione non serve a nulla! Invece se richiedo f/g tendente ad una costante non nulla, allora le applicazioni sono notevoli!
Luca.
Se poi, io definisco asintotiche f e g quando f-g tende a o, purtroppo questa definizione non serve a nulla! Invece se richiedo f/g tendente ad una costante non nulla, allora le applicazioni sono notevoli!
Luca.
Per Luca 77 : Regola di De l'Hopital : ho sempre saputo che valesse
solo nel caso di forme indeterminate del tipo : [0/0] oppure :
[inf/inf] come peraltro risulta dai testi che ho che non fanno alcun
cenno alla forma generale che tu citi.
Varrebbe dunque anche nel caso di A/inf con A qualunque ?
Ma se A non è infinito, allora la forma non è più indeterminata in
quanto il limite varrebbe 0.
A cosa serve allora l'Hopital ?
Puoi fare un esempio ?
ciao
Camillo
solo nel caso di forme indeterminate del tipo : [0/0] oppure :
[inf/inf] come peraltro risulta dai testi che ho che non fanno alcun
cenno alla forma generale che tu citi.
Varrebbe dunque anche nel caso di A/inf con A qualunque ?
Ma se A non è infinito, allora la forma non è più indeterminata in
quanto il limite varrebbe 0.
A cosa serve allora l'Hopital ?
Puoi fare un esempio ?
ciao
Camillo
dopo aver spulciato i miei testi confermo che De L'Hopital è valido anche nel caso si A/
inf
riguardo al fatto di utilizzarlo al contrario, ho dimostrato il seguente risultato:
siano f e g due funzioni definitivamente continue e tali che esistano i limiti per x all'infinito di f(x) e g(x) entrambi non nulli, e siano F e G due qualunque primitive di f e g; allora è possibile utilizzare De L'Hopital a ritroso.
p.s. in luce del fatto che De L'Hopital si può utilizzare anche per A/inf, è sufficiente, tra le mie ipotesi, che solo limg(x) sia non nullo.
ciao, ubermensch
infriguardo al fatto di utilizzarlo al contrario, ho dimostrato il seguente risultato:
siano f e g due funzioni definitivamente continue e tali che esistano i limiti per x all'infinito di f(x) e g(x) entrambi non nulli, e siano F e G due qualunque primitive di f e g; allora è possibile utilizzare De L'Hopital a ritroso.
p.s. in luce del fatto che De L'Hopital si può utilizzare anche per A/
inf, è sufficiente, tra le mie ipotesi, che solo limg(x) sia non nullo.ciao, ubermensch
ciao a tutti,
scusate il tono, ma noi della campagna siamo duri davanti a certe (per noi) sottigliezze.
sul day hospital mi viene solo in mente la segente battuta:
grazie di averci puntualizzato che l'hopital vale anche per A/inf con A finito:
ringrazio perchè da giorni mi stavo arrovellando su un limite che mi diceva 7/inf e non sapevo più come andare avanti ...
ora, invece, posso applicare l'hopital a 7/inf e finalmente trovo zero.
mi potete indicare, per favore, un caso (oltre a questo mio ormai risolto) di A/inf a cui applicare altrettanto proficuamente l'hopital?
inoltre, e non vorrei esser troppo burlesco, mi permetterebbe questa teoria di applicare l'hopital (per eccesso di prudenza, per consumar carta, per ottener crediti, per perder tempo, ... ,chessoio) anche a certi orribili limiti di tipo A/B?
mi servirebbe proprio: ho per es. un 17/9 da cui non riesco a districarmi ulteriormente! (come potrei andare avanti senza il De l'Hopital?)
tony finito ospitalizzato
*Edited by - tony on 22/04/2004 01:28:45
scusate il tono, ma noi della campagna siamo duri davanti a certe (per noi) sottigliezze.
sul day hospital mi viene solo in mente la segente battuta:
grazie di averci puntualizzato che l'hopital vale anche per A/inf con A finito:
ringrazio perchè da giorni mi stavo arrovellando su un limite che mi diceva 7/inf e non sapevo più come andare avanti ...
ora, invece, posso applicare l'hopital a 7/inf e finalmente trovo zero.
mi potete indicare, per favore, un caso (oltre a questo mio ormai risolto) di A/inf a cui applicare altrettanto proficuamente l'hopital?
inoltre, e non vorrei esser troppo burlesco, mi permetterebbe questa teoria di applicare l'hopital (per eccesso di prudenza, per consumar carta, per ottener crediti, per perder tempo, ... ,chessoio) anche a certi orribili limiti di tipo A/B?
mi servirebbe proprio: ho per es. un 17/9 da cui non riesco a districarmi ulteriormente! (come potrei andare avanti senza il De l'Hopital?)
tony finito ospitalizzato
*Edited by - tony on 22/04/2004 01:28:45
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