Disuguaglianze

[Pozzetto1]

Buongiorno a tutti,
il problema di oggi è una definizione che dà il mio libro di testo.

Devo determinare le costanti positive $c_1,c_2$ ed $n_0$ tali che

$c_1*n^2<=1/2n^2-3n<=c_2*n^2$

per ogni $n>=n_0$

Che calcoli fareste voi?Quelli del libro non mi tornano....

[giammaria2]

Do solo un abbozzo di risposta perché non c'è un tuo tentativo di soluzione. Ritengo che $n$ ed $n_0$ siano numeri interi.
Dividendo tutto per $n^2$ ottengo

$c_1<=1/2-3/n<=c_2$

Il membro intermedio aumenta al crescere di $n$ e deve essere positivo anche per $n=n_0$ quindi ....
Il suo valore minimo si ha per per il più piccolo $n_0$ possibile ed il valore massimo si ha per $n->oo$ quindi ...
Io ottengo $n_0>=7 ^^c_2>=1/2$; $c_1$ varia da zero ad un valore dipendente da $n_0$ e questo valore è sempre $>=1/14$.

[Pozzetto1]

Io ho tentato di risolvere prima la disuguaglianza di sx e poi la disuguaglianza di dx...

[Pozzetto1]

"giammaria":
$n_0>=7 ^^c_2>=1/2$; $c_1$ varia da zero ad un valore dipendente da $n_0$ e questo valore è sempre $>=1/14$.

Non ho capito come trovi il valore $7$ e $c_2$.

[giammaria2]

Da $1/2-3/(n_0)>=c_1>0$, tenendo conto che $n_0$ è positivo, ricavi $n_0>6$ e quindi $n_0>=7$.
Per quanto riguarda $c_2>=1/2$ voglio che lo ricavi tu e le premesse sono: il membro intermedio cresce al crescere di $n$ (sai dimostrarlo, almeno a livello intuitivo?) e deve essere minore o uguale dell'ultimo membro per ogni $n$, anche grandissimo.

[Pozzetto1]

Io ho:

$1/2-3/n_0<=c_2$ Giusto?

[giammaria2]

Meglio partire da $1/2-3/n

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[Pozzetto1]

Ok, ora mi torna tutto.



Grazie mille