Disuguaglianza di Bernoulli

[Bad90]

Sto cercando di capire bene il principio di induzione dimostraro mediante la disuguaglianza di Bernoulli, ma ho un punto he nonmi e' tanto chiaro:

Per ogni intero $n>=0, x in R, x>= -1$

$(1+x)^n >= 1+nx$

Dimostrazione per induzione su $n$. Sia $n=0$ . Allora l'asserto diventa:

$(1+x)^0 >= 1+0*x$

E' evidente che $1>=1$ sia vero!
Supponendo che sia vero per $n$, e proviamo per $(n+1)$:

$(1+x)^(n+1) = (1+x) * (1+x)^n >= (1+x)* (1+nx)$

Adesso in poi non capisco un passaggio he fa:

$(1+x) * (1+x)^n >= (1+x)* (1+nx)$

$(1+x) * (1+x)^n >= 1+ (n + 1)*x + nx^2$

Adesso non capisco perche' toglie quel $nx^2$ dicendo che $nx^2>=0$ ??

$(1+x) * (1+x)^n >= 1+ (n + 1)*x $

Perche' ha fatto questo passaggio????
Cosa significa adesso che l'asserto e' dimostrato?
Cosa significa in questo caso il principio di induzione???

[Sk_Anonymous]

Se elimini dal secondo membro il termine ( non negativo ) $nx^2$, questo secondo membro diminuisce di valore ed il primo membro sarà a maggior ragione non minore di ciò che resta a secondo membro!
Per quanto riguarda la seconda parte della domanda, devi ricordare che hai ipotizzato che la relazione fosse vera per il valore $n$ e ti sei prefisso di dimostrare che la cosa valesse anche per il valore $n+1$, ovvero che fosse $(1+x)^{n+1}>=1+(n+1)x$
ed è proprio quello che si realizza quando si arriva al punto $(1+x)^{n+1}>=(1+(n+1)x$
Per il principio d'induzione ( se ho capito bene la tua perplessità) alla fine si è dimostrato che se il teorema vale per il valore $n$ vale anche per il valore $n+1$. Di conseguenza, avendo dimostrato che la cosa vale per n=0, sarà allora valida anche per n+1=0+1=1. Ma se vale per n=1 vale anche per n=1+1=2 e così quante volte vuoi. E dunque il teorema regge per qualsiasi valore di n.

[21zuclo]

il mio professore di Analisi 1, in università non ce l'aveva fatta partire da 0, ma da 2

precisamente ci aveva detto

Lemma: Assegnati un intero $n\geq 2$ e un numero naturale $x> -1$, $x\ne 0$ si ha

$(1+x)^n>1+nx$

la sua dimostrazione è per induzione $n=2 \to (1+x)^n=1+2x+x^2>1+2x$

supposta valida $(1+x)^n>1+nx$ per $n$ si ha allora

$(1+x)^(n+1)=(1+x)^n (1+x)>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2>1+(n+1)x$

[Bad90]

Perfetto, adesso ho compreso!
Il dubbio che mi resra e' sulla parola induzione!
Con la dimostrazione che ho fatto, cosa vuol dire Induzione??

Dal punto di vista matematico, che sta a significare Induzione?

[CaMpIoN]

Da quanto ho capito da wikipedia pare che se la proprietà $P$ vale per $n$ questo induce che valga anche per $n+1$..