Disuguaglianza da verificare
Provare la disuguaglianza
$|x^a-y^a|<=|x-y|^a$
per ogni $a$ razionale compreso fra 0 e 1, e per ogni $x$ e $y$ non negativi.
Ho provato a passare alle radici, o a sciogliere i moduli ma non sono riuscita a tirarne fuori un granchè.. Grazie!
$|x^a-y^a|<=|x-y|^a$
per ogni $a$ razionale compreso fra 0 e 1, e per ogni $x$ e $y$ non negativi.
Ho provato a passare alle radici, o a sciogliere i moduli ma non sono riuscita a tirarne fuori un granchè.. Grazie!
Risposte
Senza perdita di generalità possiamo supporre $x \ge y$, rendendo inutili i valori assoluti; posto poi x=yz, si ha $z \ge 1$ e $y^a(z^a-1) \le y^a(z-1)^a$. Semplifichiamo per il positivo $y^a$ e poniamo $f(z)=z^a-(z-1)^a$; otteniamo $f(z) \le 1$. Studiamo ora la funzione; si ha
$f'(z)=a[z^(a-1)-(z-1)^(a-1)]$
Con esponenti negativi, una potenza cresce al decrescere della base, quindi la derivata è negativa; la funzione è decrescente e quindi minore o uguale al suo massimo assoluto, che è f(1)=1.
$f'(z)=a[z^(a-1)-(z-1)^(a-1)]$
Con esponenti negativi, una potenza cresce al decrescere della base, quindi la derivata è negativa; la funzione è decrescente e quindi minore o uguale al suo massimo assoluto, che è f(1)=1.
Grazie!
Suppongo tu ancora non conosca le derivate.
In tal caso, click!
https://www.matematicamente.it/forum/rea ... 29162.html
Ciao!
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Ciao!
Come al solito hai un occhio per tutto 
So essere molto gentile con i lettori/lettrici più in gamba 
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