Disuguaglianza con integrali

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Vi propongo un problema:

"Considerare la funzione: $f(x)=ln(1+x)/x$, se $x in ]0,1]$ $^^$ $f(x)=1$, se $x=0$. Dimostrare che, essendo $ninNN_0$, risulta:
$0<=\int_0^(1/n)f(x)dx<=1/n$".

Come posso procedere? Ho letto il suggerimento che fornisce il testo, dove si asserisce $0
Andrea

[blackbishop13]

A me sembra che sia corretto considerare $0$ $<$ $f(x)$ $<=$ $1$ anche nell'intervallo considerato, perche dici di no?
se calcoli i valori agli estremi ottieni $f(0)$ $=$ $1$ e $f(1)$ $=$ $ln2$
e poi la funzione è continua e decrescente nell'intervallo, se non sbaglio.

E perciò direi che f(x) è in effetti compresa tra 0 e 1.

[blackbishop13]

Poi per quel che riguarda la soluzione,
o calcoli l 'integrale, e poi dovresti essere abbastanza a posto
oppure io cercherei una strada geometrica...

Del tipo: $f(x)$ $>=$ $0$ $AA$ $x$ $in$ $(0;1]$

e $1/n$ $>=$ $0$ $AA$ $n$ $in$ $NN_0$

percio l'integrale sarà sicuramente positivo
poi è minore o uguale a $1/n$ perchè corrisponde all'area della regione di piano compresa fra la funzione e gli assi cartesiani, oppure per il teorema della media, è anche l'area di un rettangolo che ha per base $1/n$ e per altezza un valore che chiamo $h$ compreso fra $ln2$ e $1$, e perciò:

$(1/n)*h$ $<=$ $1/n$


Se non sono stato chiaro o se c'è qualche errore posso cercare di riprendere dei passaggi.

[Andrea902]

Ho afferrato ciò che hai scritto... io tuttavia, pensavo ad un'altra strada; considerando che per quanto detto prima vale che: $0

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[blackbishop13]

Direi niente... Mi sembra che il tuo problema sia che tu ottieni $int$ $>$ $0$ invece di $int$ $>=$ $0$

Ma non è un problema, perche se $a>0$ $rArr$ $a>=0$

inoltre, penso che tu ottieni un risultato strettamente maggiore di 0 perchè questo integrale va da $0$ a
$1/n$ e quest'ultimo è un valore sempre maggiore di 0, e quindi l'integrale non vale mai 0

però il $\lim_{n \to \infty}int_0^{1/n}f(x)dx$ è uguale a 0, e in questo senso l'integrale è maggiore o uguale a 0

in conclusione a me pare che entrambi i ragionamenti siano perfettamente validi.

[Andrea902]

Ok! Tutto chiaro! Grazie!

Andrea