Distanza minima fra un punto e due rette
Salve a tutti
propongo il seguente problema:
Sia data la funzione $y=(-x^2-5)/(5(x+2))$, determinare le coordinate di un punto della funzione tale che la somma della distanza da una retta verticale $x=-2$ e l'asintoto obliquo della funzione, sia la minima possibile.
Il mio tentativo di soluzione:
l'equazione dell'asintoto obliquo dovrebbe essere $x+5y-2=0$
adesso dovrei trovare una funzione, utilizzando la formula della distanza "punto retta", quindi derivare per stabilire un punto di minimo della stessa. Però non riesco a venirne a capo.
Grazie per l'aiuto.
Saluti
Giovanni C.
propongo il seguente problema:
Sia data la funzione $y=(-x^2-5)/(5(x+2))$, determinare le coordinate di un punto della funzione tale che la somma della distanza da una retta verticale $x=-2$ e l'asintoto obliquo della funzione, sia la minima possibile.
Il mio tentativo di soluzione:
l'equazione dell'asintoto obliquo dovrebbe essere $x+5y-2=0$
adesso dovrei trovare una funzione, utilizzando la formula della distanza "punto retta", quindi derivare per stabilire un punto di minimo della stessa. Però non riesco a venirne a capo.
Grazie per l'aiuto.
Saluti
Giovanni C.
Risposte
Il generico punto della curva ha coordinate $(x,(-x^2-5)/(5(x+2)))$. Per la distanza con la retta verticale non occorre scomodare formule: è un segmento orizzontale e quindi vale $d_1=|x-(-2)|=|x+2|$. Ti occorre invece la formula della distanza punto-retta per l'asintoto; applicandola io trovo $d_2=9/(sqrt26|x+2|)$. Sommandole ottieni la tua funzione, con doppia definizione:
$f(x)={(x+2+9/(sqrt26(x+2))if x> -2),(-[x+2+9/(sqrt26(x+2))]if x<-2):}$ (non considero $x=-2$, fuori dominio)
Ti consiglio di fare i calcoli solo per la prima riga, nel suo intero campo di esistenza; la seconda riga cambia solo il segno della funzione e quindi i massimi ed i minimi si scambiano fra loro.
Nel risolvere $y'>0$ ti conviene calcolare prima il valore di $x+2$ e dedurne quello di $x$: a me viene anche una radice quarta.
$f(x)={(x+2+9/(sqrt26(x+2))if x> -2),(-[x+2+9/(sqrt26(x+2))]if x<-2):}$ (non considero $x=-2$, fuori dominio)
Ti consiglio di fare i calcoli solo per la prima riga, nel suo intero campo di esistenza; la seconda riga cambia solo il segno della funzione e quindi i massimi ed i minimi si scambiano fra loro.
Nel risolvere $y'>0$ ti conviene calcolare prima il valore di $x+2$ e dedurne quello di $x$: a me viene anche una radice quarta.
"giammaria":
Il generico punto della curva ha coordinate $ (x,(-x^2-5)/(5(x+2))) $. Per la distanza con la retta verticale non occorre scomodare formule: è un segmento orizzontale e quindi vale $ d_1=|x-(-2)|=|x+2| $. Ti occorre invece la formula della distanza punto-retta per l'asintoto; applicandola io trovo $ d_2=9/(sqrt26|x+2|) $. Sommandole ottieni la tua funzione, con doppia definizione:
$ f(x)={(x+2+9/(sqrt26(x+2))if x> -2),(-[x+2+9/(sqrt26(x+2))]if x<-2):} $ (non considero $ x=-2 $, fuori dominio)
Ti consiglio di fare i calcoli solo per la prima riga, nel suo intero campo di esistenza; la seconda riga cambia solo il segno della funzione e quindi i massimi ed i minimi si scambiano fra loro.
Nel risolvere $ y'>0 $ ti conviene calcolare prima il valore di $ x+2 $ e dedurne quello di $ x $: a me viene anche una radice quarta.
Ti ringrazio per le indicazioni chiare e complete.
Giovanni C.
Prego.
La prossima volta, evita di quotarmi perché di certo sai che il regolamento chiede di riportare solo le frasi veramente utili; in questo caso, nessuna. Il motivo di questa norma è chiaro: per chi legge è fastidioso trovare ripetizioni; inoltre sono un inutile appesantimento per il computer.
La prossima volta, evita di quotarmi perché di certo sai che il regolamento chiede di riportare solo le frasi veramente utili; in questo caso, nessuna. Il motivo di questa norma è chiaro: per chi legge è fastidioso trovare ripetizioni; inoltre sono un inutile appesantimento per il computer.
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