Disequazioni frazionarie (188323)

[chiaraparisi]

salve, potreste spiegarmi come si svolge:
3/x+2

[Studente Anonimo]

Ciao Chiara. Innanzitutto potresti dare conferma se la disequazione in oggetto è
questa:

[math]\frac{3}{x}+2 < 0[/math]

che è quella che hai scritto, oppure quest'altra:

[math]\frac{3}{x+2} < 0[/math]

,
che molto probabilmente è quella che volevi scrivere. Chiarito tale fatto fondamentale
(che discende dal mancato uso dei tag math) possiamo procedere. ;)

[chiaraparisi]

la seconda

[Studente Anonimo]

In tal caso basta aver ben presente che una frazione algebrica è negativa se e soltanto se i segni di numeratore e denominatore sono discordi. In questo caso, dato che il numeratore è positivo per

[math]\forall\,x\in\mathbb{R}[/math]

, quali

[math]x[/math]

verificano l'equazione? :)

[chiaraparisi]

scusa il disturbo, vorrei capire una cosa una disequazione algebrica è positiva quando concorde e negativa quando discorde
potresti farmi qualche esempio?

[Studente Anonimo]

Non una "disequazione algebrica", bensì una "frazione algebrica" è positiva quando il
segno di numeratore è concorde con quello del denominatore e viceversa è negativa
se il segno del numeratore è discorde con quello del denominatore.

Per convincersene è sufficiente considerare, ad esempio,

[math]\frac{3}{5}[/math]

oppure

[math]\frac{-3}{-5}[/math]

per il caso
concorde e

[math]\frac{-3}{5}[/math]

oppure

[math]\frac{3}{-5}[/math]

per il caso discorde. Nei primi due esempietti il segno
della frazione è positivo mentre negli altri due esempi è negativo.

Dunque, tornando alla disequazione in oggetto, dato che il numeratore è positivo per
qualsiasi

[math]x[/math]

reale, perché il segno della frazione sia negativo (segno "richiesto" dal
simbolo di disuguaglianza presente nella disequazione) deve per forza di cosa accadere
che il denominatore sia negativo, ossia

[math]x+2 < 0 \; \Leftrightarrow \; x < -2[/math]

. La disuguaglianza
appena trovata è la soluzione della disequazione. :)