Disequazioni esponenziali

[Riccardo5991]

Salve a tutti, ho dei problemi con delle disequazioni esponenziali, vi elenco i miei passaggi

$ (3*2^(2x+2) -12)/2^x leq 2^x + 7*2^(2x) -7 -2^(3x) $

$ (3* 2^(2x) * 2 -12)/ 2^x -2^x -7 * 2^(2x) +7 +2^(3x) $

Pongo $ 2^x = t $

$ (3t^2 *2 -12 -t^2 -7t^3 +7t +t^4) /t $

$ (t^4 -7t^3 +5t^2 +7t -12)/ t <= 0 $

Arrivo qui e mi blocco, ho provato a scomporre con ruffini ma non riesco.Ho dimenticato il $ <= 0 $ spero che si possano capire comunque

Ho avuto dei problemi anche con questa

$ 4^(2x+1) -7/3 * 9^x > 7* 3^(2x) +16^(x-1) $

$ 4^(2x) *4 -7/3 *9^x -7* 3^(2x) -16^(x-1) > 0 $

$ 4^(2x) *4 -7/3 * 3^(2x) -7*3^(2x) -4^((x-1)^2) > 0 $

Grazie in anticipo

[Riccardo5991]

$ e^(x+1) -10^4 * e^-(x+1) -45= 0 $

$ t *e -10^4 * e/t -45 =0 $

$ (t^2*e -10^4 *e -45) /t =0 $


Ancora dei problemi, qui ho sbagliato qualcosa?

$ 4^(2x+1) -7/3 * 9^x > 7*3^(2x) +16^ (x-1) $

$ 4^(2x) *4 -7/3 *3^(2x) -7* 3^(2x) -4^(2x-2) > 0 $

$ 4^(2x) -4^(2x-2) > 7/3 *3^(2x) +7* 3^(2x) $

$ (16*4^(2x) -4^(2x)) / 16 > 7*3^(2x) (4/3) $

$ 4^(2x) *15/16 > 28/3 *3^(2x) $


Questa nemmeno mi torna, ragazzi suggerimenti, ho il compito domani

Grazie in anticipo

[@melia]

Nel primo esercizio se vuoi fare la sostituzione ti conviene porre $t=e^(x+1)$, l'esercizio diventerebbe $ t -10^4 /t -45 =0 $ che è molto più semplice,
in ogni caso hai sbagliato facendo il denominatore comune, perché non hai moltiplicati per $t$ il 45, viene
$ (t^2*e -10^4 *e -45t) /t =0 $

Nel secondo esercizio hai dimenticato il 4 davanti a $4^(2x)$ quando hai portato i termini da un membro all'altro, la forma corretta è quindi $ (64*4^(2x) -4^(2x)) / 16 > 7*4/3*3^(2x) $ da cui

$ 4^(2x) *63/16 > 28/3 *3^(2x) $, adesso moltiplicando tutto per $16/63$ e dividendo per $3^(2x)$, che è tutta roba positiva e si può fare, si ottiene

$(4/3)^(2x) > 64/27$ e questa, adesso, la puoi finire da solo.

[Riccardo5991]

Nella prima posso quindi porre $ t= e^(x+1) $ ? Perchè quel meno lì davanti mi spiazza


Per quanto riguarda la seconda grazie infinite, ho capito il procedimento, speriamo di riuscire ad applicare lo stesso procedimento anche domani se me ne dovesse capitare una della stessa tipologia

[@melia]

E allora fallo sparire subito

$ e^(x+1) -10^4 * e^-(x+1) -45= 0 $

$ e^(x+1) -10^4 /e^(x+1) -45= 0 $

[Riccardo5991]

Salve vorrei verificare i questi del mio compito in classe per curiosità

$ (3^(2x) +12)/ (9^(2x) -2*3^(2x) -3)- 9/(4*(9^x -3)) >= 0 $


Questa mi dava x > (o minore ora non ricordo) di un logaritmo


$ (4^(sqrt(x)+ 1) - 4^(sqrt(x)- 1)) / (16^sqrt(x) +1) < 15/8 $


Questa ahimè alla fine non mi dava alcuna soluzione, credo di averla sbagliata


Qualcuno sa dirmi qualcosa in più al riguardo? Gli altri esercizi erano sulle funzioni

[minomic]

Prima.
Poniamo $3^{2x} = t$ \[\frac{t+12}{(t-3)(t+1)} - \frac{9}{4(t-3)} \geq 0\] \[\frac{4t+48-9t-9}{4(t-3)(t+1)} \geq 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{-5t + 39}{(t-3)(t+1)} \geq 0\] \[t < -1 \quad\vee\quad 3

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[minomic]

Seconda.
Poniamo $4^{sqrt(x)} = t$ \[\frac{4t-\frac{1}{4}t}{t^2 + 1} < \frac{15}{8}\quad\Rightarrow\quad \frac{15t}{4(t^2+1) }< \frac{15}{8}\] \[8t < 4t^2 + 4\quad\Rightarrow\quad t^2 - 2t + 1 > 0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)^2 > 0\] la cui soluzione è \[\forall t \in \mathbb{R}-\left\{1\right\}\] Quindi dobbiamo escludere \[4^{\sqrt{x}} = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 0\] D'altra parte le condizioni di esistenza erano $x >= 0$. In conclusione la soluzione è \[x > 0\]

[Riccardo5991]

Nella prima ricordo quel logaritmo, nel seconda ho fatto tutto giusto, ma ho sbagliato il grafico finale, forse per la fretta,mi dava x < 0 mi pare, e non rientrava nelle condizioni di esistenza

[minomic]

"Riccardo5991":ho sbagliato il grafico finale

Quale grafico?

[Riccardo5991]

Delle soluzioni... ho commesso un errore di distrazione

[minomic]

Ah ho capito. Peccato...