Disequazioni esponenziali
Salve a tutti, ho dei problemi con delle disequazioni esponenziali, vi elenco i miei passaggi
$ (3*2^(2x+2) -12)/2^x leq 2^x + 7*2^(2x) -7 -2^(3x) $
$ (3* 2^(2x) * 2 -12)/ 2^x -2^x -7 * 2^(2x) +7 +2^(3x) $
Pongo $ 2^x = t $
$ (3t^2 *2 -12 -t^2 -7t^3 +7t +t^4) /t $
$ (t^4 -7t^3 +5t^2 +7t -12)/ t <= 0 $
Arrivo qui e mi blocco, ho provato a scomporre con ruffini ma non riesco.Ho dimenticato il $ <= 0 $ spero che si possano capire comunque
Ho avuto dei problemi anche con questa
$ 4^(2x+1) -7/3 * 9^x > 7* 3^(2x) +16^(x-1) $
$ 4^(2x) *4 -7/3 *9^x -7* 3^(2x) -16^(x-1) > 0 $
$ 4^(2x) *4 -7/3 * 3^(2x) -7*3^(2x) -4^((x-1)^2) > 0 $
Grazie in anticipo
$ (3*2^(2x+2) -12)/2^x leq 2^x + 7*2^(2x) -7 -2^(3x) $
$ (3* 2^(2x) * 2 -12)/ 2^x -2^x -7 * 2^(2x) +7 +2^(3x) $
Pongo $ 2^x = t $
$ (3t^2 *2 -12 -t^2 -7t^3 +7t +t^4) /t $
$ (t^4 -7t^3 +5t^2 +7t -12)/ t <= 0 $
Arrivo qui e mi blocco, ho provato a scomporre con ruffini ma non riesco.Ho dimenticato il $ <= 0 $ spero che si possano capire comunque
Ho avuto dei problemi anche con questa
$ 4^(2x+1) -7/3 * 9^x > 7* 3^(2x) +16^(x-1) $
$ 4^(2x) *4 -7/3 *9^x -7* 3^(2x) -16^(x-1) > 0 $
$ 4^(2x) *4 -7/3 * 3^(2x) -7*3^(2x) -4^((x-1)^2) > 0 $
Grazie in anticipo
Risposte
Nella prima vedo un errore: $2^(2x+2)=2^(2x)*2$ invece dovrebbe essere $2^(2x)*2^2$.
Anche nella seconda vedo un errore: $16^(x-1)=4^((x-1)^2)$ invece dovrebbe essere $16^(x-1)=4^(2(x-1))$.
Anche nella seconda vedo un errore: $16^(x-1)=4^((x-1)^2)$ invece dovrebbe essere $16^(x-1)=4^(2(x-1))$.
Nella seconda poi come procedo? Le basi sono diverse...
Una volta isolati a primo membro i termini in $4^(2x)$ e a secondo membro quelli in $3^(2x)$ dovresti ottenere
$63/16*4^(2x)>28/3*3^(2x)$
adesso dividi tutto per $63/16*3^(2x)$ e ottieni
$4^(2x)/3^(2x) > 64/27$ ovvero $(4/3)^(2x) >(4/3)^3$
$63/16*4^(2x)>28/3*3^(2x)$
adesso dividi tutto per $63/16*3^(2x)$ e ottieni
$4^(2x)/3^(2x) > 64/27$ ovvero $(4/3)^(2x) >(4/3)^3$
Ho avuto degli altri problemi
$ (5^(3x) - 5^(2x)) * (e^(1/x) - e^2 ) <= 0 $
Pongo la variabile ausiliaria e scomponendo ottengo
$ t^2 (t-1) (e^-x -e^2 ) <= 0 $
I risultati finali non corrispondono, consigli?...
Con questa invece
$ ((2/3)^X - (2^(1/3))/ 3^(1/3) ) * (3*3^x -1/3 ) >= 0 $
Non riesco più ad andare avanti, il $ (2^(1/3))/ 3^(1/3) $ l'ho trasformato, prima avevo $ 2/3 $ sotto radice cubica
E infine ho problemi di impostazione con questa
$ (5^(x^2-4x) -1)/ (x-2)>= 0 $
Grazie mille in anticipo...
$ (5^(3x) - 5^(2x)) * (e^(1/x) - e^2 ) <= 0 $
Pongo la variabile ausiliaria e scomponendo ottengo
$ t^2 (t-1) (e^-x -e^2 ) <= 0 $
I risultati finali non corrispondono, consigli?...
Con questa invece
$ ((2/3)^X - (2^(1/3))/ 3^(1/3) ) * (3*3^x -1/3 ) >= 0 $
Non riesco più ad andare avanti, il $ (2^(1/3))/ 3^(1/3) $ l'ho trasformato, prima avevo $ 2/3 $ sotto radice cubica
E infine ho problemi di impostazione con questa
$ (5^(x^2-4x) -1)/ (x-2)>= 0 $
Grazie mille in anticipo...
Sono tutti studi del segno in pratica, nella prima e nella seconda ti basta studiare le parentesi singolarmente e poi fare il grafico della positività.
Stessa cosa per la terza facendo a parte numeratore e denominatore.
Per la prima comunque la variabile ausiliaria non è strettamente necessaria e commetti un errore in quanto $e^(1/x)$ non è come dire $e^(-x)$, infatti $e^(-x)=1/(e^x)$. Nel secondo invece ricorda che $(2^(1/3))/(3^(1/3))=(2/3)^(1/3)$.
Stessa cosa per la terza facendo a parte numeratore e denominatore.
Per la prima comunque la variabile ausiliaria non è strettamente necessaria e commetti un errore in quanto $e^(1/x)$ non è come dire $e^(-x)$, infatti $e^(-x)=1/(e^x)$. Nel secondo invece ricorda che $(2^(1/3))/(3^(1/3))=(2/3)^(1/3)$.
"burm87":
Per la prima comunque la variabile ausiliaria non è strettamente necessaria
Esatto, oltretutto \[5^{3x} - 5^{2x} = 5^{2x}\left(5^x - 1\right)\] dove $5^{2x}$ si può tralasciare in quanto strettamente maggiore di zero per ogni $x$.
Grazie mille a tutti... per quanto riguarda la disequazione
$ (e^(2x) -e^sqrt(x+2) ) * (2^(1-x) -2^x )<= 0 $
Stavo pensando di trasformare
$ e^sqrt(x+2) $ in $ e^((x-2)^(1/2) $ tuttavia poi analizzando non corrispondono i risultati con quelli del libro... sbaglio qualcosa? Grazie in anticipo
$ (e^(2x) -e^sqrt(x+2) ) * (2^(1-x) -2^x )<= 0 $
Stavo pensando di trasformare
$ e^sqrt(x+2) $ in $ e^((x-2)^(1/2) $ tuttavia poi analizzando non corrispondono i risultati con quelli del libro... sbaglio qualcosa? Grazie in anticipo
--- Messaggio eliminato ---
No: [size=120] $" "sqrt(e^(x+2))=e^((x+2)/2)!=e^sqrt(x+2)$[/size]
Ops... Giustissimo! 
$ e^(2x) <= e^(sqrt(x+2) $
Poi applico la proprietà
$ 2x <= sqrt(x+2) $
Di certo qui non potrei elevare al quadrato... tuttavia potrei riscriverla così
$ 2x <= (x+2)^(1/2) $
Ma non saprei come andare avanti...
Poi applico la proprietà
$ 2x <= sqrt(x+2) $
Di certo qui non potrei elevare al quadrato... tuttavia potrei riscriverla così
$ 2x <= (x+2)^(1/2) $
Ma non saprei come andare avanti...
Se la vedi come \[\sqrt{x+2} \ge 2x\] la puoi trattare come una normale disequazione irrazionale. \[\begin{cases}
x \ge -2 \\ 2x < 0
\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}
x \ge -2 \\ 2x \ge 0 \\ x+2 \ge 4x^2
\end{cases}\]
x \ge -2 \\ 2x < 0
\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}
x \ge -2 \\ 2x \ge 0 \\ x+2 \ge 4x^2
\end{cases}\]
Purtroppo non abbiamo trattato quella parte del programma, e non penso che la mia docente accetti tale soluzione, è l'unica strada percorribile?
Beh ci sarebbe la via grafica ma non riusciresti ad individuare con precisione la soluzione. Altrimenti non mi viene in mente altro.
Per individuare con precisione la soluzione si può risolvere l'equazione associata e poi la via grafica va bene. La soluzione delle disequazioni irrazionali viene però considerata più importante della via grafica e mi sembra probabile che chi ignora la prima non conosca neanche la seconda; il testo non sarà sbagliato?
A quanto pare ha sbagliato la mia docente ad assegnarcela... tuttavia mi guarderò giusto qualche cosa essenziale delle disequazioni irrazionali, giusto per sicurezza
$ 4* (3/2)^(2x) + 15(3/2)^-x -19 = 0 $
Ho preso la strada seguente
$ (4*3^(2x) *3^x +60* 2^(2x) -19* 2^(2x) *3^x)/ (2^(2x) *3^x) $
Non riesco a proseguire... domani ho il compito, ultimo aiuto?
Grazie mille in anticipo...
$ 4* (3/2)^(2x) + 15(3/2)^-x -19 = 0 $
Ho preso la strada seguente
$ (4*3^(2x) *3^x +60* 2^(2x) -19* 2^(2x) *3^x)/ (2^(2x) *3^x) $
Non riesco a proseguire... domani ho il compito, ultimo aiuto?
Grazie mille in anticipo...
Consiglierei la sostituzione \[\left(\frac{3}{2}\right)^x = t\] Quindi \[4t^2 + \frac{15}{t} - 19=0\]
Ho pensato anche io a sostituire così, ma il passaggio non mi sembrava corretto, poichè
$ (3/2)^-x = (2/3^x) $
$ (3/2)^-x = (2/3^x) $
E' vero che \[\left(\frac{3}{2}\right)^{-x} = \left(\frac{2}{3}\right)^x\] ma si può anche vedere in questo modo: \[\left(\frac{3}{2}\right)^{-x} = \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^x}\]
Grazie mille, non avevo considerato questa opzione
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