Disequazioni con Valore Assoluto
Ciao 
, sono un nuovo utente , e spero possiate aiutarmi a risolvere un dubbio
Devo sostenere un recupero di matematica del terzo anno tra qualche settimana , e spesso escono delle disequazioni con il valore assoluto , solo che non le abbiamo trattate nello specifico .
Una vecchia disequazione, con cui mi sto esercitando , è del tipo :
$|(x-1)/(4x-1)|<1$
come si risolve una disequazione scritta così?Che differenza c'è con una disequazione senza modulo?
, sono un nuovo utente , e spero possiate aiutarmi a risolvere un dubbio Devo sostenere un recupero di matematica del terzo anno tra qualche settimana , e spesso escono delle disequazioni con il valore assoluto , solo che non le abbiamo trattate nello specifico .
Una vecchia disequazione, con cui mi sto esercitando , è del tipo :
$|(x-1)/(4x-1)|<1$
come si risolve una disequazione scritta così?Che differenza c'è con una disequazione senza modulo?
Risposte
In che senso "non le abbiamo trattate nello specifico"?
Comunque, quando uno non sa che pesci pigliare quando si imbatte in equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti, secondo me la strada più "tranquilla" ancorché lunga, è quella di "sciogliere" il valore assoluto, studiando separatamente i vari casi e poi unendo le soluzioni così trovate.
Cordialmente, Alex
Comunque, quando uno non sa che pesci pigliare quando si imbatte in equazioni e disequazioni contenenti valori assoluti, secondo me la strada più "tranquilla" ancorché lunga, è quella di "sciogliere" il valore assoluto, studiando separatamente i vari casi e poi unendo le soluzioni così trovate.
Cordialmente, Alex
Non abbiamo mai fatto disequazioni con il valore assoluto, solo senza , potresti guidarmi a risolvere questa per capire?
Scusate ho letto il regolamento ora , scrivo la mia disequazione con gli strumenti del forum:
$ |(x-1)/(4x-1)|<1 $
Spero qualcuno mi possa aiutare
$ |(x-1)/(4x-1)|<1 $
Spero qualcuno mi possa aiutare
Come diceva axpgn, un modo può essere quello di discutere i vari casi. Ciò funziona perché, dato un qualsiasi numero reale $t$, poniamo per definizione:
$$|t|=\begin{cases} t, \ \text{se} \ t \ge 0, \\ -t, \ \text{se} \ t<0 \end{cases}$$
Da questa definizione, notiamo subito che per un qualsiasi numero reale $t$ risulta $|t| \ge 0$. Quindi, per $x \ne 1/4$ la disequazione proposta è equivalente alla disequazione seguente:
$$|x-1|<|4x-1|$$
Infatti, abbiamo visto che il valore assoluto è sempre non negativo e quindi possiamo moltiplicare per $|4x-1|$ ambo i membri e ottenere una disequazione equivalente.
Nota che se $x<1/4$, allora $x-1<0$ e $4x-1<0$ e perciò, per definizione di valore assoluto, da $x-1<0$ e $4x-1<0$ segue che $|x-1|=-(x-1)$ e $|4x-1|=-(4x-1)$. Pertanto, se $x<1/4$ devi risolvere la disequazione:
$$-(x-1)<-(4x-1)$$
Se $1/40$. Quindi, sempre per definizione di valore assoluto, da $x-1 \le 0$ e $4x+1>0$ segue che $|x-1|=-(x-1)$ e $|4x-1|=4x-1$. Perciò, se $1/4
Infine, se $x>1$ allora $x-1>0$ e $4x-1>0$. Perciò, nuovamente per definizione di valore assoluto, da $x-1>0$ e $4x-1>0$ segue che $|x-1|=x-1$ e $|4x-1|=4x-1$. Quindi, se $x>1$ devi risolvere la disequazione:
$$x-1<4x-1$$
Una volta risolte le singole disequazioni, prendi solamente le soluzioni che si trovano nei singoli intervalli corrispondenti ai vari casi che hai separato: ad esempio, nel risolvere $-(x-1)<-(4x-1)$ prendi solamente i valori di $x<1/4$ che la rendono vera. L'unione di tutte queste soluzioni trovate nei singoli intervalli è la soluzione dell'intera disequazione (eventualmente escludendo il valore $x=1/4$, visto che annulla il denominatore della disequazione di partenza).
$$|t|=\begin{cases} t, \ \text{se} \ t \ge 0, \\ -t, \ \text{se} \ t<0 \end{cases}$$
Da questa definizione, notiamo subito che per un qualsiasi numero reale $t$ risulta $|t| \ge 0$. Quindi, per $x \ne 1/4$ la disequazione proposta è equivalente alla disequazione seguente:
$$|x-1|<|4x-1|$$
Infatti, abbiamo visto che il valore assoluto è sempre non negativo e quindi possiamo moltiplicare per $|4x-1|$ ambo i membri e ottenere una disequazione equivalente.
Nota che se $x<1/4$, allora $x-1<0$ e $4x-1<0$ e perciò, per definizione di valore assoluto, da $x-1<0$ e $4x-1<0$ segue che $|x-1|=-(x-1)$ e $|4x-1|=-(4x-1)$. Pertanto, se $x<1/4$ devi risolvere la disequazione:
$$-(x-1)<-(4x-1)$$
Se $1/4
Infine, se $x>1$ allora $x-1>0$ e $4x-1>0$. Perciò, nuovamente per definizione di valore assoluto, da $x-1>0$ e $4x-1>0$ segue che $|x-1|=x-1$ e $|4x-1|=4x-1$. Quindi, se $x>1$ devi risolvere la disequazione:
$$x-1<4x-1$$
Una volta risolte le singole disequazioni, prendi solamente le soluzioni che si trovano nei singoli intervalli corrispondenti ai vari casi che hai separato: ad esempio, nel risolvere $-(x-1)<-(4x-1)$ prendi solamente i valori di $x<1/4$ che la rendono vera. L'unione di tutte queste soluzioni trovate nei singoli intervalli è la soluzione dell'intera disequazione (eventualmente escludendo il valore $x=1/4$, visto che annulla il denominatore della disequazione di partenza).
Questa disequazione è un caso molto semplice perché
1. è di primo grado
2. ha entrambi i membri positivi
$ |(x-1)/(4x-1)|<1 $
Si può risolvere elevando al quadrato entrambi i membri
$ |(x-1)/(4x-1)|^2<1^2 $ che diventa $ (x-1)^2/(4x-1)^2<1 $ e poi $ (x-1)^2<(4x-1)^2 $ con $x!=1/4$
1. è di primo grado
2. ha entrambi i membri positivi
$ |(x-1)/(4x-1)|<1 $
Si può risolvere elevando al quadrato entrambi i membri
$ |(x-1)/(4x-1)|^2<1^2 $ che diventa $ (x-1)^2/(4x-1)^2<1 $ e poi $ (x-1)^2<(4x-1)^2 $ con $x!=1/4$
Esatto ghira , è diversa , chiedo scusa per chi ha già risposto
La soluzione mi dice il testo che è :
$ x<0 uu x>2/5 $
$ x<0 uu x>2/5 $
"latiox05":
La soluzione mi dice il testo che è :
$ x<0 uu x>2/5 $
Che è esattamente quello che viene nella disequazione $(x-1)^2<(4x-1)^2$
Si ma... da qui poi come procedo?
È una normale disequazione di secondo grado, non le conosci?
In questa forma non capisco ,scusa
Scusami, quale forma? Espandi i quadrati, sposta i termini e voila! Ecco la solita disequazione di secondo grado.
Devi sforzarti un po' di più a riflettere, non puoi bloccarti su cose basilari. IMHO
Devi sforzarti un po' di più a riflettere, non puoi bloccarti su cose basilari. IMHO
Si si scusa mi ero spaventato vedendo i quadrati
Una volta che trovo 0 e 2/5 , come faccio a dire se i valori sono compresi o sono esterni? Se il segno della disequazione è > sono esterni , e se < sono interni?
Una volta che trovo 0 e 2/5 , come faccio a dire se i valori sono compresi o sono esterni? Se il segno della disequazione è > sono esterni , e se < sono interni?
E poi volevo chiedere: questo metodo va comunque bene rispetto a quello che ha scritto Mephlip nella pagina prima? Vanno bene entrambi?
A mio parere è meglio se ripassi il capitolo relativo alle disequazioni di secondo grado piuttosto che riassumere qui tutto in due righe, penso che farei più danni che altro.
Quello che scrive Mephlip è giusto a prescindere
Quello che scrive Mephlip è giusto a prescindere
Il metodo che ho suggerito io vale solo per casi particolari come un valore assoluto con termini di primo grado confrontato con qualcosa di positivo. Per questo sembra molto più semplice. Il metodo di Mephlip vale sempre.
Ora che ci sono .. se avessi la stessa disequazione , ma con il modulo supponiamo solo a denominatore , come cambiano le cose?
Te l'ho detto e te lo ripeto: se non riesci a "vedere" subito una strada "veloce" per la risoluzione, vai lento ma sicuro "sciogliendo" il valore assoluto ovvero ti studi i casi separatamente.
@axpgn: Esagerato, grazie . Dovresti vedere gli abomini che scrivo ogni tanto nel privato 
.
@latiox05: Prova a copiare il ragionamento che ti ho proposto prima. Se vuoi conferme, puoi scrivere il procedimento qui e lo controlliamo volentieri.
. Dovresti vedere gli abomini che scrivo ogni tanto nel privato ."latiox05":
se avessi la stessa disequazione , ma con il modulo supponiamo solo a denominatore , come cambiano le cose?
@latiox05: Prova a copiare il ragionamento che ti ho proposto prima. Se vuoi conferme, puoi scrivere il procedimento qui e lo controlliamo volentieri.
Allora , credo di aver capito , mettiamo caso :
$ (1-x)/(|4x-1|)<1 $ .
Faccio il sistema con i 2 casi:
Caso 1:
$ { ( 4x-1>=0 ),( (1-x)/(4x-1)<1 ):} $
da cui trovo che $x>2/5$
Caso 2:
$ { ( 4x-1<0 ),( (1-x)/(-4x+1)<1 ):} $
da cui trovo $x<0$,
metto insieme le soluzioni e ho: $x<0 uu x>2/5$, giusto?
(Ho sbagliato a scrivere il numeratore , doveva essere x-1, comunque il ragionamento in questo caso dovrebbe andar bene comunque ).
$ (1-x)/(|4x-1|)<1 $ .
Faccio il sistema con i 2 casi:
Caso 1:
$ { ( 4x-1>=0 ),( (1-x)/(4x-1)<1 ):} $
da cui trovo che $x>2/5$
Caso 2:
$ { ( 4x-1<0 ),( (1-x)/(-4x+1)<1 ):} $
da cui trovo $x<0$,
metto insieme le soluzioni e ho: $x<0 uu x>2/5$, giusto?
(Ho sbagliato a scrivere il numeratore , doveva essere x-1, comunque il ragionamento in questo caso dovrebbe andar bene comunque ).
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