Disequazioni con modulo

[gaho]

Nella seguente disequazione con modulo riesco(da quanto ho capito) a risolvere correttamente le "due parti" del modulo ma poi non unisco correttamente le soluzioni.
La disequazione è questa:
$|4x-8|/(x-3)=x-2$
io risolvo prima questa: $(4x-8)/(x-3)=x-2$ ottenendo come soluzioni $2<=x<3 U x>=7$
poi risolvo: $(-4x+8)/(x-3)=x-2$ e come soluzioni ottengo $-1<=x<2 U x>3$
a questo punto so che devo unire le due soluzioni ma in tutti i modi in cui lo faccio non riesco ad ottenere quella che dovrebbe essere la soluzione, ovvero:
$(-inf,-1)U[2]U(3,7]$

Se qualcuno riesce a dirmi cosa non capisco mi salva il cervello.

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Secondaria II grado.[/xdom]

[chiaraotta1]

Dici disequazione, ma poi scrivi un'equazione ....
Come stanno le cose?

Se intendi che la disequazione sia

$|4x-8|/(x-3)>=x-2$,

allora è equivalente a

${(4x-8>=0), ((4x-8)/(x-3)>=x-2):}uu{(4x-8<0), ((-4x+8)/(x-3)>=x-2):}$.

Il primo sistema è
${(x>=2), ((4x-8-(x-2)(x-3))/(x-3)>=0):}->{(x>=2), ((-x^2+9x-14)/(x-3)>=0):}->{(x>=2), ((x^2-9x+14)/(x-3)<=0):}->$
${(x>=2), (((x-2)(x-7))/(x-3)<=0):}->{(x>=2), (x<=2vv 3
Le soluzioni sono
$x=2 vv 3
Il secondo sistema è
${(x<2), ((-4x+8-(x-2)(x-3))/(x-3)>=0):}->{(x<2), ((-x^2+x+2)/(x-3)>=0):}->{(x<2), ((x^2-x-2)/(x-3)<=0):}->$
${(x<2), (((x-2)(x+1))/(x-3)<=0):}->{(x<2), (x<=-1vv2<=x<3):}$.

Le soluzioni sono
$x<=-1$.

Quindi, facendo l'unione delle soluzioni, si trova
$x<=-1 vv x=2 vv 3

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[gaho]

"chiaraotta":Dici disequazione, ma poi scrivi un'equazione ....
Come stanno le cose?

Ero così preso dalla storia del codice per visualizzare le formule che non sono stato attento. XD

"chiaraotta":Se intendi che la disequazione sia

$|4x-8|/(x-3)>=x-2$,

allora è equivalente a

${(4x-8>=0), ((4x-8)/(x-3)>=x-2):}uu{(4x-8<0), ((-4x+8)/(x-3)>=x-2):}$.

Il primo sistema è
${(x>=2), ((4x-8-(x-2)(x-3))/(x-3)>=0):}->{(x>=2), ((-x^2+9x-14)/(x-3)>=0):}->{(x>=2), ((x^2-9x+14)/(x-3)<=0):}->$
${(x>=2), (((x-2)(x-7))/(x-3)<=0):}->{(x>=2), (x<=2vv 3
Le soluzioni sono
$x=2 vv 3

Come mai $x=2$? Dipende dal fatto è sia $>=$ che $<=$?

"chiaraotta":Il secondo sistema è
${(x<2), ((-4x+8-(x-2)(x-3))/(x-3)>=0):}->{(x<2), ((-x^2+x+2)/(x-3)>=0):}->{(x<2), ((x^2-x-2)/(x-3)<=0):}->$
${(x<2), (((x-2)(x+1))/(x-3)<=0):}->{(x<2), (x<=-1vv2<=x<3):}$.

Le soluzioni sono
$x<=-1$.

Quindi, facendo l'unione delle soluzioni, si trova
$x<=-1 vv x=2 vv 3

Comunque io avevo usato la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado per scomporre i numeratori di secondo grado ma il tuo metodo è decisamente più intelligente.
Due numeri che sommati diano $b$ e moltiplicati $c$ giusto? Si può applicare sempre o devo stare attento a qualcosa?(oltre la positività di $a$)

[chiaraotta1]

"gardos":

Come mai $x=2$? Dipende dal fatto è sia $>=$ che $<=$?

Sì: $x=2$ è soluzione di ambedue le disequazioni del sistema e quindi, quando faccio l'intersezione, appartiene alle soluzioni del sistema.

"gardos":

Comunque io avevo usato la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado per scomporre i numeratori di secondo grado ma il tuo metodo è decisamente più intelligente.
Due numeri che sommati diano $b$ e moltiplicati $c$ giusto? Si può applicare sempre o devo stare attento a qualcosa?(oltre la positività di $a$)

Quando vedo chiaramente una fattorizzazione, trovo molto più semplice discutere il segno dei fattori e ricavare poi il segno complessivo della funzione.