Disequazioni con logaritmi (secondo grado)

[akiross1]

Salve a tutti

La prima cosa che mi assilla in questi giorni e' una disequazione con logaritmi... Credo sia argomento "da superiori", ma non saprei dire, non ricordo di averne fatte in passato e in effetti ho qualche problema.

La disequazione incriminata e':
$\frac{3\log(x) - (\log(x))^2 - 1}{x^2} > 0$
E' dato (anche per via dei logaritmi) che $x>0$ quindi posso toglierlo tranquillamente dal denominatore, giusto? (In ogni caso l'ho visto graficamente e pare proprio di si )
Solo che poi mi trovo con
$3\log(x) - (\log(x))^2 - 1 > 0$

So che a volte, con i logaritmi, si possono usare le proprieta' dei logaritmi cosi' da avere un log da un lato e un log dall'altro, con la stessa base, per poi farli sparire e risolvere piu' tranquilli l'equazione.

Solo che in questo caso c'e' un $\log^2(x)$ che volendo e' uguale a $\log(x)\cdot\log(x) = \log(x^\log(x))$, ma non mi aiuta.

Alche' ho pensato che si potesse procedere per sostituzione:
$t = \log(x)\ -t^2 + 3t - 1 > 0 \rightarrow t = \frac{-3 \pm \sqrt(5)}{2}$

Da qui in poi ho dubbi sul procedimento che ho usato (anche su quello di prima ho dubbi, ma molti di meno ) e in effetti mi trovo dei risultati che non coincidono con la soluzione grafica, che dovrebbe dare $x > ~1.5$.

Sostanzialmente torno ad una equazione tipo $t > qualcosa$, quindi $\log(x) > qualcosa$ e infine $x > 10^{qualcosa}$, che pero', se viene calcolato, da un numero sbagliato (o comunque non vicino alla soluzione che mi aspetto).

Qualcuno mi potrebbe aiutare per favore? In generale mi interessa capire come risolvere equazioni in cui ci sono dei logaritmi di grado > 1
Grazie mille in anticipo
Saluti

Edit: cia', visto che mi diverto gia' a scrivere in MathML faccio anche il grafichetto che ho usato per vedere
[asvg]xmin=0; xmax=5;
axes(1, 1, "labels", 1);
stroke ="green";
line(1.5, 3, 1.5, -3);
stroke ="red";
plot("(3 * log(x) - (log(x))^2 - 1)(x^2)");[/asvg]

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao.

Prova a controllare che non si tratti di un'ambiguità notazionale: spesso con $log$ si intende il logaritmo naturale, non in base 10.

Il tuo procedimento va bene: chiami $t=log(x)$, risolvi tutto in $t$ e poi torni a $x$.

[akiross1]

Avevi ragione, son stato proprio sciocco a non pensarci

Ho risolto cosi':
$t_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt(9-4)}{-2}$
$t < \frac{3}{2} + \frac{\sqrt(5)}{2} \wedge t < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt(5)}{2}$
$\log(x) < \frac{3}{2} + \frac{\sqrt(5)}{2} \wedge \log(x) < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt(5)}{2}$
$x < e^{(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt(5)}{2})} \wedge x < e^{(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt(5)}{2})}$

che in effetti coincide con la parte del grafico > 0

[asvg]xmin=1;
xmax=16;
ymin = -3;
ymax = 3;
axes();
plot("3*log(x) - (log(x))^2 - 1");[/asvg]

Grazie
Ciao!

P.S. Ma queste convenzioni non si potrebbero stabilizzare un po'? Fate un decreto legge per stabilirlo

Da qualche parte trovo $Log$ per $log_10$ e $ln$ per $log_e$, da altre $log = log_10$ o $log = log_e$. Uff vabe' io per $log_e$ uso $ln$ perche' mi sembra piu' intuitivo, $lg$ per $log_2$ e $log$ per $log_10$ (non specificandone qualcuna, log sarebbe della base in cui si scrivono i numeri in quel contesto).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per quanto ne sappia io, di solito $log$ indica il logaritmo in base $e$, mentre se si vuole specificare una particolare base $b$ si scrive $log_b$. Pero' è vero che questa faccenda delle convenzioni fa spesso soffrire

[Sk_Anonymous]

Il problema con la simbologia nei logaritmi è molto semplice
in italiano $log_10$ si scrive $Log$ e quello naturale $log_e$ si scrive $log$, ma ormai tutti usano la calcolatrice, che avendo notazione anglosassone indica il $log_10$ con $log$ e quello naturale $log_e$ con $ln$

Caro akiross, temo che tu abbia anche qualche difficoltà con le disequazioni di secondo grado $-t^2+3t-1>0$ dà come soluzioni
$t_1

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[akiross1]

"amelia":Caro akiross, temo che tu abbia anche qualche difficoltà con le disequazioni di secondo grado $-t^2+3t-1>0$ dà come soluzioni
$t_1

Hai anche ragione! E la cosa bella e' che ho anche disegnato il grafico e non mi sono accorto che la parabola era al contrario XD AhAhAh

Me misero

Ehm, tanto che ci siamo... C'e' un'ottica o una filosofia o un'etica o un comportamento che dovrei tenere per evitare in questi miliardi di errori stupidi in cui cado spessissimo? Per me e' normale trascrivere i - come +, cambiare una base senza motivo, dimenticarmi di finire una derivata (si, proprio scriverne meta' e poi andare avanti con il resto) o non notare che un grafico e' al contrario... E non e' che faccio pochi esercizi.
Voi che sicuramente siete piu' in gamba di me, non avete un consiglio che possa andare oltre al solito "stai attento"? Io ci provo a stare attento, ma se non mi accorgo di un conflitto prima, non me ne accorgo neanche dopo

Grazie amelia per avermelo fatto notare... Ancora una volta cerchero' di ripetermi di stare attento.

[-d4rkst4r-]

ciao a tutti!!
ho provato anche io a risolvere la disequazione.. allora il denominatore non da problemi, poichè $x^2>0$ sempre.

per il numeratore ho provato questa strategia: $3logx-(logx)^2-1>0$

pongo $logx=t$

$3t-t^2-1=0$ e risolvendo trovo le 2 soluzioni $t=(3+5^(1/2))/2$ e $t=(3-5^(1/2))/2$

e da ciò deduco che $t=(3-5^1/2)/2
spero di non aver detto cavolate!!!!