Disequazione vera per ogni X...
Salve a tutti, ho un dubbio, devo dimostrare che:
$ X^6 >= 6x - 5 $
per ogni x in R.
Io ho per prima cosa ricavato l'equazione associata e successivamente ho ricavato la funzione:
$ Y = 0 $
$ X^6 - 6x + 5 = 0 $
Poi ho fatto la derivata y' della funzione f(x), ho studiato il segno e ho visto che in 1 ha un minimo, ho risostituito il punto trovato nella disequazione e ho visto che il risultato era 1, essendo quindi quello il valore minimo, che la funzione puó avere la relazione è vera.
Le mie domande sono 2:
1) il procedimento è corretto?
2) Esistono altri modi che non coinvolgano analisi per dimostrare questa relazione? Quali?
$ X^6 >= 6x - 5 $
per ogni x in R.
Io ho per prima cosa ricavato l'equazione associata e successivamente ho ricavato la funzione:
$ Y = 0 $
$ X^6 - 6x + 5 = 0 $
Poi ho fatto la derivata y' della funzione f(x), ho studiato il segno e ho visto che in 1 ha un minimo, ho risostituito il punto trovato nella disequazione e ho visto che il risultato era 1, essendo quindi quello il valore minimo, che la funzione puó avere la relazione è vera.
Le mie domande sono 2:
1) il procedimento è corretto?
2) Esistono altri modi che non coinvolgano analisi per dimostrare questa relazione? Quali?
Risposte
In $1$ c'è il minimo ma non vale $1$ bensì zero; stavolta ti è andata bene 
Il minimo di per sé non ti garantisce che la disequazione sia soddisfatta, dovresti studiare la funzione un po' di più … in questo caso è un polinomio e si vede facilmente dove "va a finire", non ha discontinuità, ecc. ma se la funzione fosse un po' complicata non ti basterebbe "solo" il minimo …
Per la 2 … un bel grafico
Cordialmente, Alex
Il minimo di per sé non ti garantisce che la disequazione sia soddisfatta, dovresti studiare la funzione un po' di più … in questo caso è un polinomio e si vede facilmente dove "va a finire", non ha discontinuità, ecc. ma se la funzione fosse un po' complicata non ti basterebbe "solo" il minimo …
Per la 2 … un bel grafico
Cordialmente, Alex
Per la risposta 2 propongo un po' di algebra elementare:
$ x^6 - 6x + 5 >= 0 $ si annulla in 1, quindi è possibile scomporla con Ruffini con 1 e viene 2 volte,
$(x-1)^2*(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)$
adesso cerco di dimostrare che il secondo fattore è sempre positivo, lo riscrivo così
$(x^4+2x^3+x^2+2x^2+4x+2+3)=(x^2+x)^2+2(x+1)^2+3$
riassumendo
$ x^6 - 6x + 5 >= 0 $ diventa $(x-1)^2*[(x^2+x)^2+2(x+1)^2+3]>=0$ da cui il secondo fattore è sempre positivo perché somma di 3 fattori che non si possono annullare contemporaneamente e resta solo il primo fattore
$(x-1)^2>=0$ che è verificato $AA x in RR$
$ x^6 - 6x + 5 >= 0 $ si annulla in 1, quindi è possibile scomporla con Ruffini con 1 e viene 2 volte,
$(x-1)^2*(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)$
adesso cerco di dimostrare che il secondo fattore è sempre positivo, lo riscrivo così
$(x^4+2x^3+x^2+2x^2+4x+2+3)=(x^2+x)^2+2(x+1)^2+3$
riassumendo
$ x^6 - 6x + 5 >= 0 $ diventa $(x-1)^2*[(x^2+x)^2+2(x+1)^2+3]>=0$ da cui il secondo fattore è sempre positivo perché somma di 3 fattori che non si possono annullare contemporaneamente e resta solo il primo fattore
$(x-1)^2>=0$ che è verificato $AA x in RR$
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