Disequazione trigonometrica, soluzione proposta non mi è chiara

[dino60]

Salve a tutti,
mi dovete scusare se faccio irruzione con un esercizio di trigonometria, spero che sia la sezione giusta. In realtà è preso da un libro di Analisi, ma purtroppo sono molto scarso e devo fare spesso anche gli esercizi considerati di prerequisiti (fallendo miseramente il più delle volte ).
Nonostate ciò alla fine, dopo molta fatica, mi ci raccapezzo e capisco dove sbaglio, ma questa volta non so proprio dove sbattere la testa, al punto che sto addirittura per dubitare del libro.
Nella mia esperienza però so che sono io ad aver torto praticamente sempre , e stavolta devo proprio piegarmi e disturbare chiedendo aiuto a qualcuno più esperto di me.

Ecco il problema:

[tex]2(sinx)^2+sinx \geq 0[/tex]

[tex](sinx)(2sinx+1) \geq 0[/tex]

Prendo i due fattori:

Fattore 1:
[tex]sinx \geq 0[/tex]
e quindi le soluzioni sono

[tex]2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi[/tex]

e fin qui sono d'accordo.

E poi fattore 2:

[tex](2sinx+1) \geq 0[/tex]

[tex]sinx \geq -1/2[/tex]

e le soluzioni proposte dal libro sono
[tex]7\pi/6 + 2k\pi \leq x \leq 11\pi/6 + 2k\pi[/tex]

Ma non sono d'accordo perché se per esempio x fosse [tex]3\pi/2[/tex] allora sinx sarebbe -1 che è minore di -1/2 e ciò non rispetta la disequazione. Siccome è [tex]sinx \geq -1/2[/tex] mi aspetto valori tipo [tex]x=pi/2[/tex]
Quindi sbaglio qualcosa, ma cosa?
Allego pure l'immagine nel caso dovessi aver fatto errori con tex.

http://i.imgur.com/j51x5O9.png

Spero che possiate darmi una mano a capire il mio errore.

Grazie

[G.D.5]

Intervento rimosso.

[@melia]

Infatti, la risposta non è quella di $sinx>= -1/2$, ma quella relativa a $sinx<= -1/2$.

Riepiloghiamo
Hai una disequazione di secondo grado, come la risolvi? Puoi decidere di scomporla in due fattori di primo grado e poi fare il grafico di studio dei segni, oppure puoi risolvere direttamente la disequazione di secondo grado (con il metodo della parabola).

Per risolvere la disequazione
$2x^2 +x >= 0$

1. con i due fattori di primo grado, fai la scomposizione $x(2x +1) >= 0$, studi il segno di ogni singolo fattore $x>=0$ e $x>= -1/2$ e poi, con il grafico di studio dei segni ottieni $x<= -1/2 vv x>=0$

2. risolvi l'equazione associata, $x_1= -1/2$ e $x_2=0$, e poi, siccome il primo coefficiente e la disequazione sono concordi, la soluzione è per valori esterni, quindi $x<= -1/2 vv x>=0$[/list:u:32ofd1un]

Tornando alla disequazione proposta $2sin^2x+sinx>=0$, risolta con il secondo metodo diventa $sinx<= -1/2 vv sinx>=0$ da cui, appunto, le soluzioni del testo
\( 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi \) $vv$\( 7\pi/6 + 2k\pi \leq x \leq 11\pi/6 + 2k\pi \)

[G.D.5]

OK. Ho scritto una baggianata. Il cambio di orario mi ha fatto male.
Rimuovo il mio intervento per evitare di creare confusione.
Che resti ad imperitura memoria che mi sono immaginato che non è vero che \( \displaystyle \frac{7}{6} \pi \leq \frac{3}{2} \pi \leq \frac{11}{6} \pi \).

[@melia]

"G.D.":
Che resti ad imperitura memoria ...

Volevo proprio chiederti se il cambio dell'ora avesse avuto qualche effetto strano. Poi ho visto che eri ancora in linea e ho pensato che ti saresti corretto da solo.

[G.D.5]

[dino60]

"@melia":Infatti, la risposta non è quella di $sinx>= -1/2$, ma quella relativa a $sinx<= -1/2$.

...

Tornando alla disequazione proposta $2sin^2x+sinx>=0$, risolta con il secondo metodo diventa $sinx<= -1/2 vv sinx>=0$ da cui, appunto, le soluzioni del testo
\( 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi \) $vv$\( 7\pi/6 + 2k\pi \leq x \leq 11\pi/6 + 2k\pi \)

Innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto, non hai idea di quanto mi ci sia scervellato
Immaginavo che dovessi fare lo studio del segno, ma non sapevo come fare essendoci sinx. Tra l'altro ora so che va fatto, ma non sono sicuro di capire perché, e ciò ovviamente non è salutare Infatti segue una spiegazione/donamda.

Tu sostituisci sinx con x, ma questa x non è la stessa che vado a trovare alla fine da inserire in sinx, o dico male?

La mia spiegazione barbara di quello che faccio è la seguente: è come se trovassi tutti i momenti in cui l'output della funzione sinx soddisfa la disequazione, quindi [tex]output \geq -1/2[/tex] e [tex]output \geq 0[/tex], e poi con lo studio del segno andassi a trovarmi i momenti in cui la moltiplicazione degli output è valida, e quindi prendendo i momenti quando la moltiplicazione degli output è valida mi vado a ricavare la x da ficcare in sinx.
Sto ragionando in maniera corretta?

[@melia]

sì e sì.
Ho usato sempre x, ma ovviamente non sono la stessa cosa.
Il ragionamento è corretto.

[dino60]

grazie