Disequazione trigonometrica frazionaria.
Salve, dovrei risolvere la seguente disequazione trigonometrica:
$(1-tanx)/(5-sinx) <= 0$
Ho provato procedendo a separare numeratore e denominatore:
$N >= 0$ : $1-tanx<=0$ $rArr$ $tanx>=1$ $rArr$ $x>=\pi/4$
$D > 0$ : $5-sinx<0$ $rArr$ $sinx>5$ $rArr$ $\nexists x inRR$
La disequazione non ha soluzioni quindi?
Oppure ho sbagliato completamente procedimento?
$(1-tanx)/(5-sinx) <= 0$
Ho provato procedendo a separare numeratore e denominatore:
$N >= 0$ : $1-tanx<=0$ $rArr$ $tanx>=1$ $rArr$ $x>=\pi/4$
$D > 0$ : $5-sinx<0$ $rArr$ $sinx>5$ $rArr$ $\nexists x inRR$
La disequazione non ha soluzioni quindi?
Oppure ho sbagliato completamente procedimento?
Risposte
una disequazione frazionaria del tipo $N/D <=0$ non ha come soluzione l'intersezione delle soluzioni di $N<=0, D<0$ (anzi in questo caso num e den negativi entrambi rendono la frazione positiva...
hai impostato bene mettendo $N>=0$ e $D>0$ per poter fare poi il prodotto dei segni, ma non sei stato coerente nei passaggi successivi.
$1-tanx>=0 -> tanx<=1 -> x<=pi/4$
$5-sinx>0 -> sinx<5 AAx in RR$
poi però non si fa a sistema, anzi, si dovrebbe fare il prodotto dei segni, ma, poiché il denominatore è sempre positivo, la frazione è minore o uguale a zero se e solo se il numeratore è minore o uguale a zero. quindi la soluzione è $x<=pi/4$ (quella che avevi trovato ponendo $N<=0$).
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
hai impostato bene mettendo $N>=0$ e $D>0$ per poter fare poi il prodotto dei segni, ma non sei stato coerente nei passaggi successivi.
$1-tanx>=0 -> tanx<=1 -> x<=pi/4$
$5-sinx>0 -> sinx<5 AAx in RR$
poi però non si fa a sistema, anzi, si dovrebbe fare il prodotto dei segni, ma, poiché il denominatore è sempre positivo, la frazione è minore o uguale a zero se e solo se il numeratore è minore o uguale a zero. quindi la soluzione è $x<=pi/4$ (quella che avevi trovato ponendo $N<=0$).
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
La disequazione si semplifica subito e $(1-tanx)/(5-sinx) <= 0$ diventa $1-tanx <= 0$ perché il denominatore è sempre positivo.
Il tuo procedimento, oltre ad essere più lungo è viziato da alcuni errori primo fra tutti quello di porre numeratore e denominatore $<0$. I vari fattori vanno sempre posti $>0$ e poi nel grafico di studio dei segni si va a controllare quale segno assume l'espressione, al variare dei segni dei fattori.
Il tuo procedimento, oltre ad essere più lungo è viziato da alcuni errori primo fra tutti quello di porre numeratore e denominatore $<0$. I vari fattori vanno sempre posti $>0$ e poi nel grafico di studio dei segni si va a controllare quale segno assume l'espressione, al variare dei segni dei fattori.
"adaBTTLS":
una disequazione frazionaria del tipo $N/D <=0$ non ha come soluzione l'intersezione delle soluzioni di $N<=0, D<0$ (anzi in questo caso num e den negativi entrambi rendono la frazione positiva...
hai impostato bene mettendo $N>=0$ e $D>0$ per poter fare poi il prodotto dei segni, ma non sei stato coerente nei passaggi successivi.
Vero che stupido...
"adaBTTLS":
$1-tanx>=0 -> tanx<=1 -> x<=pi/4$
$5-sinx>0 -> sinx<5 AAx in RR$
poi però non si fa a sistema, anzi, si dovrebbe fare il prodotto dei segni, ma, poiché il denominatore è sempre positivo, la frazione è minore o uguale a zero se e solo se il numeratore è minore o uguale a zero. quindi la soluzione è $x<=pi/4$ (quella che avevi trovato ponendo $N<=0$).
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
Ok chiaro, ma se sotto fosse stato $sinx>5$ sarebbe risultato impossibile in quanto la funzione seno non può mai essere maggiore di $1$?
in una disequazione frazionaria se ti trovi non il finale ma un pezzo "impossibile" come $sinx>5$ significa solo che questo non è mai verificato e quindi non è mai verificata la disuguaglianza che ti portava a quel risultato.
in fondo lo puoi vedere da te: se cambi segno sia al numeratore sia al denominatore, dovresti ottenere la stessa cosa. prova.
$(tanx-1)/(sinx-5)<=0$
in questo caso il denominatore è sempre negativo, e quindi la frazione è $<=0$ se e solo se il numeratore è $>=0$. OK?
in fondo lo puoi vedere da te: se cambi segno sia al numeratore sia al denominatore, dovresti ottenere la stessa cosa. prova.
$(tanx-1)/(sinx-5)<=0$
in questo caso il denominatore è sempre negativo, e quindi la frazione è $<=0$ se e solo se il numeratore è $>=0$. OK?
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